연결집합 | Real Analysis

연결집합을 보는 씬입니다. 집합을 서로 닿지 않는 두 열린 조각으로 가를 수 있는지, 절단점을 움직이며 확인합니다. 갈라지지 않는 집합이 연결집합입니다. 구간은 어디를 잘라도 잘린 점이 어느 쪽에도 붙지 않아 갈라지지 않습니다. 멀리 떨어진 두 조각이나, 유리수처럼 틈이 촘촘한 집합은 그 틈에 절단을 넣으면 깔끔하게 갈라집니다. 예를 들면, 🧩 퍼즐 한 판을 보세요. 조각들이 서로 맞물려 있으면 한 판 그대로입니다. 두 무더기로 완전히 떨어져 있으면, 이미 갈라진 것입니다.

예제

구간 $[0,1]$ 이 연결집합임을 완전히 증명하세요. 즉, $[0,1]$ 에서 열려 있는 서로소인 두 집합 $U, V$ 가 $[0,1] = U \cup V$ 를 만족하면, $U$ 와 $V$ 중 적어도 하나는 비어 있음을 보이세요.

[0,1] = U \cup V,\ U \cap V = \emptyset,\ U, V \text{ open in } [0,1] \implies U = \emptyset \text{ or } V = \emptyset

t = 0.5

: 절단점

0.5

자체가 어느 쪽에도 속하지 않아 덮지 못합니다 —

[0,1]

에서는 어떤 절단도 이렇게 실패합니다.

증명 보기

$[0,1] = U \cup V$ 가 분리라고 가정하고, $U, V$ 가 모두 비어 있지 않다고 가정합니다. 이름을 바꿔 $0 \in U$ 라 둡니다 ( $0$ 은 $U$ 와 $V$ 중 하나에 속하는데, $1 - x$ 대칭으로 두 경우 모두 같은 논증이 됩니다). 집합 $S = \{x \in [0,1] : [0,x] \subseteq U\}$ 와 $c = \sup S$ 를 둡니다. $0 \in S$ 이므로 $S \ne \emptyset$ 이고, $1$ 이 상계이므로 완비성 공리에 의해 $c \in [0,1]$ 이 존재합니다.
먼저 $c \in U$ 임을 보입니다. $V$ 가 $[0,1]$ 에서 열려 있으므로 그 여집합 $U = [0,1] \setminus V$ 는 $[0,1]$ 에서 닫혀 있습니다 — 즉 $U$ 는 자기 폐포와 같습니다: $\overline{U} \cap [0,1] = U$ . $c = 0$ 이면 $c = 0 \in U$ 입니다. $c > 0$ 이면, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 supremum의 정의로 $x \in S$ 이고 $c - \varepsilon < x \le c$ 인 $x$ 가 존재합니다. 이때 $x \in [0,x] \subseteq U$ 이므로 근방 $(c-\varepsilon, c+\varepsilon)$ 가 $U$ 와 만나고, 따라서 $c \in \overline{U}$ 입니다. 결론적으로 $c \in \overline{U} \cap [0,1] = U$ 입니다.
다음으로 $[0,c] \subseteq U$ 임을 확인합니다: $y < c$ 이면 supremum의 정의로 $y < x \le c$ 인 $x \in S$ 가 있어 $y \in [0,x] \subseteq U$ 이고, 끝점 $c$ 자체도 앞 단계에서 $U$ 에 속합니다. 이제 $c = 1$ 임을 보입니다. $c < 1$ 이라 가정해 보세요. $c \in U$ 이고 $U$ 가 $[0,1]$ 에서 열려 있으므로, 어떤 $\delta > 0$ 에 대해 $(c-\delta, c+\delta) \cap [0,1] \subseteq U$ 입니다. $\delta' = \min(\delta/2, (1-c)/2) > 0$ 으로 두면 ( $c < 1$ 이므로) $[0, c+\delta'] = [0,c] \cup (c, c+\delta'] \subseteq U$ 가 됩니다. 즉 $c + \delta' \in S$ 인데 $c + \delta' > c = \sup S$ 라 모순입니다. 따라서 $c = 1$ 입니다.
따라서 $[0,1] = [0,c] \subseteq U$ 입니다. 그런데 분리는 $V \ne \emptyset$ 를 요구하므로 $v \in V$ 인 $v$ 가 존재합니다. $v \in [0,1] \subseteq U$ 이면서 $v \in V$ 이면 $U \cap V \ne \emptyset$ 가 되어 서로소라는 가정에 모순됩니다. 결론적으로 $[0,1]$ 의 분리는 존재하지 않으며, $[0,1]$ 은 연결집합입니다. 씬에서 절단이 늘 실패하는 이유가 이것입니다 — 절단점 $t \in [0,1]$ 은 어느 열린 쪽에도 속할 수 없고, 이 증명은 그 현상이 모든 열린 쌍에서 일어난다고 말합니다.

$X$ 가 path-연결집합이면 $X$ 가 연결집합임을 완전히 증명하세요. path-연결이란 임의의 $a, b \in X$ 에 대해 연속함수 $\gamma : [0,1] \to X$ 이고 $\gamma(0) = a$ , $\gamma(1) = b$ 인 것이 존재한다는 뜻입니다. 문제 1 ( $[0,1]$ 의 연결성)을 사용해도 됩니다.

\gamma : [0,1] \to X \text{ continuous},\quad A = \gamma^{-1}(U),\quad B = \gamma^{-1}(V)

[0,1] = A \cup B,\quad A \cap B = \emptyset,\quad A, B \text{ open in } [0,1]

X = [0,1] \cup [2,3]

t = 1.5

: 분리가 성공하는 공간 — 조각 사이에는 path가 있을 수 없습니다. path가 있으면 그 역상이

[0,1]

을 분리해 버리기 때문입니다.

증명 보기

$X$ 가 path-연결이고, 모순을 위해 $X = U \cup V$ 가 분리라고 가정합니다: $U, V$ 는 $X$ 에서 열려 있고, 서로소이며, 모두 비어 있지 않습니다. $a \in U$ , $b \in V$ 를 잡습니다. path-연결성에 의해 연속함수 $\gamma : [0,1] \to X$ 이고 $\gamma(0) = a$ , $\gamma(1) = b$ 인 것이 존재합니다.
$A = \gamma^{-1}(U)$ , $B = \gamma^{-1}(V)$ 로 둡니다. $\gamma$ 가 연속이고 $U, V$ 가 $X$ 에서 열려 있으므로, $A$ 와 $B$ 는 $[0,1]$ 에서 열려 있습니다: $t_0 \in A$ 이면 $\gamma(t_0) \in U$ 이고, $U$ 가 열려 있어 어떤 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $U$ 가 $\gamma(t_0)$ 의 $\varepsilon$ -근방을 포함하며, 연속성에 의해 $\gamma$ 는 $t_0$ 의 어떤 $\delta$ -근방 전체를 그 $\varepsilon$ -근방 안으로 보내므로, 그 $\delta$ -근방은 $A$ 안에 들어갑니다. $B$ 도 마찬가지입니다.
네 가지 분리 조건을 $[0,1]$ 에서 확인합니다. 덮음: 모든 $t \in [0,1]$ 에 대해 $\gamma(t) \in X = U \cup V$ 이므로 $t \in A \cup B$ , 즉 $[0,1] = A \cup B$ 입니다. 서로소: $t \in A \cap B$ 이면 $\gamma(t) \in U \cap V = \emptyset$ 가 되어 불가능하므로 $A \cap B = \emptyset$ 입니다. 비어 있지 않음: $0 \in A$ ( $\gamma(0) = a \in U$ )이고 $1 \in B$ ( $\gamma(1) = b \in V$ )입니다. 즉 $[0,1] = A \cup B$ 는 $[0,1]$ 의 분리입니다.
이는 문제 1 — $[0,1]$ 은 연결집합이라 분리가 존재하지 않는다 — 에 모순됩니다. 따라서 $X$ 의 분리 $X = U \cup V$ 는 존재할 수 없고, $X$ 는 연결집합입니다. 역은 성립하지 않습니다: 위상수학자의 사인 곡선의 폐포는 연결집합이지만 path-연결집합은 아닙니다.

두 점 이상을 가진 $\mathbb{Q}$ 의 모든 부분집합 $A$ 는 연결집합이 아님을 완전히 증명하세요. 결론적으로 $\mathbb{Q}$ 는 완전 비연결(totally disconnected)입니다: 연결인 부분집합은 한 점 집합과 $\emptyset$ 뿐입니다.

\alpha = p + \frac{q - p}{\sqrt{2}}, \qquad \sqrt{2} = \frac{q - p}{\alpha - p} \notin \mathbb{Q}

A = \bigl(A \cap (-\infty, \alpha)\bigr) \cup \bigl(A \cap (\alpha, \infty)\bigr)

절단

c = \sqrt{2}/2 \approx 0.7071

: 무리수라서 유리수 점과 겹치지 않으므로

\mathbb{Q} \cap [0,1]

을 덮으면서 갈라놓습니다.

증명 보기

$A \subseteq \mathbb{Q}$ 가 두 점 이상을 가진다고 하고, $p, q \in A$ 이며 $p < q$ 인 두 점을 잡습니다. $\alpha = p + \frac{q - p}{\sqrt{2}}$ 로 둡니다. $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ 이므로 (즉 $1 < \sqrt{2} < 2$ 이므로) $\alpha$ 는 $p$ 와 $q$ 사이의 엄격한 볼록결합입니다: $p < \alpha < q$ .
$\alpha$ 는 무리수입니다. $\alpha \in \mathbb{Q}$ 라 가정해 보세요. 그러면 $\alpha - p \in \mathbb{Q}$ 이고 $\alpha - p = \frac{q - p}{\sqrt{2}} > 0$ 라서 0이 아니며, 식을 정리하면 $\sqrt{2} = \frac{q - p}{\alpha - p}$ 가 됩니다. $q - p \in \mathbb{Q}$ 이고 0이 아니므로 이 비율은 유리수입니다 — $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ 라는 사실에 모순됩니다. 따라서 $\alpha \notin \mathbb{Q}$ 이고, 특히 $\alpha$ 는 $A$ 의 어떤 원소와도 같지 않습니다.
$U = A \cap (-\infty, \alpha)$ , $V = A \cap (\alpha, \infty)$ 로 둡니다. 열림: $(-\infty, \alpha)$ 와 $(\alpha, \infty)$ 는 $\mathbb{R}$ 에서 열린 구간이므로, $U$ 와 $V$ 는 부분공간 $A$ 에서 열려 있습니다. 서로소: $x < \alpha$ 와 $x > \alpha$ 는 양립할 수 없으므로 $U \cap V = \emptyset$ 입니다. 덮음: $a \in A$ 이면 $a \in \mathbb{Q}$ 라서 $a \ne \alpha$ 이고, 따라서 $a < \alpha$ (즉 $a \in U$ )이거나 $a > \alpha$ (즉 $a \in V$ )입니다. 즉 $A = U \cup V$ 입니다. 비어 있지 않음: $p \in U$ ( $p < \alpha$ )이고 $q \in V$ ( $\alpha < q$ )입니다.
즉 $A = U \cup V$ 는 $A$ 의 분리이므로 $A$ 는 연결집합이 아닙니다. $A$ 는 두 점 이상을 가진 $\mathbb{Q}$ 의 임의의 부분집합이었으므로, $\mathbb{Q}$ 의 연결인 부분집합은 점이 최대 하나뿐입니다 — $\mathbb{Q}$ 는 완전 비연결입니다. 씬의 절단 $\sqrt{2}/2$ 가 바로 이 $\alpha$ 의 한 예입니다 ( $p = 0$ , $q = 1$ 에서 $\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ). 유리수 사이에는 늘 무리수가 끼어들어 집합을 갈라놓습니다.