4. 위상

열린집합·콤팩트·완비성 — 실직선의 위상적 구조와 베어 범주 정리, 칸토어 집합을 다룹니다.

• 열린집합과 닫힌집합 — 집합 $U$가 열려 있다는 것은 모든 점이 내점이라는 뜻 — 각 점을 $\varepsilon$-공으로 감쌀 수 있습니다. 수직선 위에서 점 $x$와 $\varepsilon$을 움직이며 공이 집합 안에 들어가는지 확인합니다.
• 폐포와 유계 — 집합 $A$ 위에 바를 그으면 폐포 $\overline{A}$ — 빠져나간 극한점들을 빨아들인 집합입니다. 닫힘 ⟺ 극한점을 다 품음 ⟺ 폐포와 같음, 그리고 닫힘 + 유계 ⟺ 컴팩트(하이네-보렐)의 돌림노래를 확인합니다.
• 컴팩트 집합 — 컴팩트 $\iff$ 닫힘 + 유계(하이네–보렐): $[0,1]$은 열린 커버의 처음 6개 구간으로 덮이지만, $(0,1]$은 0 근처의 틈 때문에, $[0,\infty)$는 무한대의 꼬리 때문에 유한 부분커버를 갖지 않습니다. 볼차노–바이어슈트라스의 수열 버전은 완전히 증명하고, 열린 커버 정의의 동치성은 아이디어 수준에서만 봅니다.
• 거리공간 — 거리를 공리화하면 $\varepsilon$-공이 일반화됩니다 — 열린 공 $B(c, r)$의 모양은 거리 $d$에 달려 있습니다. 유클리드 거리의 원판, 최대 노름의 정사각형, 그리고 극단적인 예시인 이산 거리를 비교합니다.
• 축소사상 원리 — 수축사상 $d(Tx,Ty) \le q\,d(x,y)$ ($q<1$)은 완비 거리공간에서 유일한 고정점을 갖습니다 — 피카르 반복 $x_{n+1} = Tx_n$은 오차공 $\frac{q^n}{1-q}|x_1-x_0|$과 함께 조여듭니다. $T(x) = x/2$ on $(0,1]$은 완비성이 왜 필수적인지 보여줍니다: 수축사상이지만 고정점이 없습니다.
• 베어 카테고리 정리 — 완비 거리공간은 nowhere dense인 집합들의 가산합집합이 될 수 없습니다 — 이것이 Baire Category Theorem입니다. $[0, 1]$의 유리수를 하나씩 피하는 중첩 닫힌구간 $I_k$를 따라가면, 길이가 $0$으로 수렴하는 교집합 속에 무리수 한 점이 남습니다.
• 베어 1급 함수 — 연속함수들의 점별 극한 — Baire 1급 함수. Thomae 함수 $T(p/q) = 1/q$ (기약분수), $T(x) = 0$ (무리수)는 서로 겹치지 않는 텐트들의 합 $f_n$의 점별 극한입니다. $T$는 무리수에서 연속, 유리수에서 불연속 — 연속점 집합이 조밀한 $G_\delta$라는 Baire 정리의 살아있는 예시입니다.
• 칸토어 집합 — 가운데 3분의 1을 계속 지우면 전체 길이는 $\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0$이 되지만, 남는 점은 셀 수 없이 많습니다. 비가산성은 아이디어 수준에서만 언급합니다.
• 팻 칸토어 집합 — 가운데를 덜 파내면 어떻게 될까요 — 매 단계에서 길이 $4^{-n}$만 제거하면 남는 집합은 컴팩트하고 nowhere dense이며 perfect인데도 전체 길이가 $\frac12$로 수렴합니다. 측도와 위상적 크기는 독립적입니다.
• 칸토어 함수 — 악마의 계단: 연속이고 단조롭게 $0$에서 $1$로 오르지만, 여집합 구간에서는 상수라서 $f' = 0$인 점들의 전체 길이가 $1$입니다. $f(1) - f(0) = 1 \neq \int_0^1 f'$ — 미적분학 기본정리가 "거의 모든 곳에서 미분가능"보다 더 강한 것을 요구하는 이유입니다.