칸토어 집합

가운데 3분의 1을 계속 지우면 전체 길이는

\left(\frac{2}{3}\right)^n\to 0

이 되지만, 남는 점은 셀 수 없이 많습니다. 비가산성은 아이디어 수준에서만 언급합니다.

예제

3단계 $C_3$ 의 구간 개수와 전체 길이를 구하세요.

2^3 = 8, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^3 = \tfrac{8}{27}

3단계 — 8개의 조각, 전체 길이

8/27 \approx 0.296

증명 보기

각 단계에서 모든 구간이 두 개로 쪼개지므로, $n$ 단계의 구간 수는 $2^n$ 개입니다. 따라서 $C_3$ 은 $2^3 = 8$ 개의 구간으로 이루어져 있습니다.
$n$ 단계의 각 구간 길이는 $\left(\frac13\right)^n$ 이므로, 전체 길이는 $2^n \cdot \left(\frac13\right)^n = \left(\frac23\right)^n$ 입니다.
$n = 3$ 일 때 전체 길이는 $\left(\frac23\right)^3 = \frac{8}{27} \approx 0.296$ 입니다.

$\frac14$ 이 칸토어 집합에 속함을 삼진법 전개를 이용해 판정하세요.

\frac14 = 0.020202\ldots_3 \in C

4단계 —

\frac14

는 매 단계 살아남는 구간 안에 있습니다.

증명 보기

삼진법으로 $0.020202\ldots_3 = \sum_{j=1}^{\infty} 2\cdot 3^{-2j}$ 입니다. 등비급수 합 공식으로 $\frac{2\cdot \frac19}{1-\frac19} = \frac{2/9}{8/9} = \frac14$ 을 얻습니다.
이 전개에는 숫자 $1$ 이 등장하지 않습니다. 삼진법 판정법(전개에 $1$ 이 없는 수가 정확히 살아남는 수 — 여기서는 증명 없이 사용합니다)에 의해, $\frac14$ 는 어떤 단계에서도 지워지는 가운데 구간에 들어가지 않습니다.
따라서 $\frac14$ 는 모든 $C_n$ 에 속하고, $C = \bigcap_n C_n$ 에도 속합니다.

칸토어 집합 $C$ 의 '길이'(측도)가 $0$ 임을 덮개 논증으로 증명하세요.

\forall\, \varepsilon > 0\ \ \exists\, n:\ \left(\tfrac23\right)^n < \varepsilon

8단계 — 전체 길이

(2/3)^8 \approx 0.039

n

을 키우면 임의로 작아집니다.

증명 보기

$C \subseteq C_n$ (모든 $n$ 에 대해)이고, $C_n$ 은 전체 길이가 $\left(\frac23\right)^n$ 인 $2^n$ 개의 구간으로 이루어져 있습니다.
$\varepsilon > 0$ 이 주어지면 $\left(\frac23\right)^n < \varepsilon$ 인 $n$ 을 잡습니다 ( $\left(\frac23\right)^n \to 0$ 이므로 가능합니다). 그러면 $C$ 는 전체 길이가 $\varepsilon$ 보다 작은 유한 개의 구간으로 덮입니다.
임의로 작은 전체 길이로 덮을 수 있는 집합의 측도는 $0$ 입니다(르벡 외측도의 정의). 참고로 $C$ 는 비가산집합이라는 사실도 알려져 있습니다 — 길이가 0인데 점은 셀 수 없이 많은 것입니다.