칸토어 함수

칸토어 함수 $f$ 가 잘 정의되고(삼진 전개의 모호성이 값을 바꾸지 않음), 단조증가이며, $[0,1]$ 에서 연속임을 증명하세요. 예: $0.0222\ldots_3 = 0.1_3$ 의 두 전개가 모두 $f = 1/2$ 를 주어야 합니다.

0.0222\ldots_3:\ N = \infty,\ b = 0.0111\ldots_2 = \tfrac12 \qquad\text{vs}\qquad 0.1_3:\ N = 1,\ b_1 = 1 \Rightarrow f = \tfrac12

x < y,\ \text{first differing digit } m \Rightarrow f(x) \le S + 2^{-m} \le f(y)

|f - f_n| \le 2^{-n}\ \text{uniformly},\ f_n\ \text{piecewise linear} \Rightarrow f\ \text{continuous}

단계 3:

C_3

은 구간 8개(=

2^3

), 전체 길이

(2/3)^3 = 8/27 \approx 0.29630

이다 — 계단은 이미 완성된

f

이며,

(1/3,\,2/3)

위의 평평한 단이

f = 1/2

에 보인다.

증명 보기

삼진 전개는 $k/3^m$ 꼴의 점을 제외하면 유일하고, 그 점들은 정확히 두 개의 전개를 갖는다: 끝나는 전개 $0.c_1\ldots c_{m-1}1$ 과 $2$ 가 반복되는 전개 $0.c_1\ldots c_{m-1}0222\ldots_3$ . $k < m$ 인 $k$ 중 $c_k = 1$ 인 것이 있으면 두 전개 모두 첫 번째 $1$ 을 같은 자리에서 보므로 $b$ 수열이 일치한다. 그런 $k$ 가 없으면, 끝나는 전개는 $N = m$ 에서 $b_m = 1$ 을 주고, $2$ -반복 전개는 $1$ 이 전혀 없으므로 $b_m = 0$ , $k > m$ 에서 $b_k = 1$ 을 준다 — 그런데 $\sum_{k>m} 2^{-k} = 2^{-m}$ 이므로 합은 같다. 예: $0.0222\ldots_3$ 은 $N = \infty$ 이라 $b = 0.0111\ldots_2 = 1/2$ 이고, $0.1_3$ 은 $N = 1$ 이라 $b_1 = 1$ 로 $f = 1/2$ 이다. 따라서 $f$ 는 잘 정의된다.
$f$ 는 단조증가이다. $x < y$ 라 하고 (선택한) 삼진 전개가 처음으로 달라지는 자리를 $m$ 이라 하자. 그러면 $(c_m(x),\, c_m(y))$ 는 $(0,1)$ , $(0,2)$ , $(1,2)$ 중 하나이다. 앞 $m-1$ 자리의 공통 기여를 $S$ 라 쓰자. $(0,1)$ 인 경우: $x$ 는 $b_m = 0$ 이고 꼬리가 $\sum_{k>m} 2^{-k} = 2^{-m}$ 이하이므로 $f(x) \le S + 2^{-m}$ 이고, $y$ 는 $m$ 에서 첫 $1$ 이 나오므로 $f(y) = S + 2^{-m}$ 이다. $(0,2)$ 인 경우: $f(x) \le S + 2^{-m}$ 이고 $y$ 는 $b_m = 1$ , 꼬리 $\ge 0$ 이므로 $f(y) \ge S + 2^{-m}$ 이다. $(1,2)$ 인 경우: $f(x) = S + 2^{-m}$ 이고 $f(y) \ge S + 2^{-m}$ 이다. 끝점의 모호성은 이미 잘 정의성에서 해소되었으므로 $f(x) \le f(y)$ 이다.
$f$ 는 연속이다. $n$ 단 삼진 구간의 각 닫힌 구간 $I$ 위에서는 $f$ 의 변동이 $2^{-n}$ 이하이다: $n$ 자리 안에 $1$ 이 있으면 꼬리가 0이라 $f$ 가 $I$ 위에서 정확히 상수이고, 없으면 $f = \sum_{k\le n}(c_k/2)2^{-k} + \text{꼬리}$ (꼬리는 $0$ 과 $2^{-n}$ 사이)이다. 끝점 $k/3^n$ 에서 $f$ 를 선형 보간한 연속함수 $f_n$ 을 두면, $n$ 단 구간 $[l,r]$ 위의 모든 $x$ 에 대해 $f(x)$ 와 $f_n(x)$ 는 모두 $[f(l),\,f(r)]$ 안에 들고(단조성), 그 구간의 길이는 $2^{-n}$ 이하이다. 따라서 $f_n \to f$ 균등수렴하고, 연속함수의 균등극한은 연속이므로 $f$ 는 $[0,1]$ 에서 연속이다. 참고로 $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ 이다 ( $1 = 0.222\ldots_3$ ).

칸토어 집합의 여집합을 이루는 모든 열린 구간 위에서 $f$ 가 상수임을 증명하세요. 따라서 여집합의 모든 점에서 $f' = 0$ 이며, 여집합의 전체 길이는 $1$ 입니다.

(a,b)\ \text{removed at stage } m:\quad a = 0.c_1\ldots c_{m-1}1_3,\ b = 0.c_1\ldots c_{m-1}2_3

x \in (a,b) \Rightarrow c_m(x) = 1 \Rightarrow f(x) = \sum_{k<m}\tfrac{c_k}{2}2^{-k} + 2^{-m}\ \text{(constant)}

\sum_{m \ge 1} 2^{m-1} 3^{-m} = \tfrac13\sum_{m\ge 1}\left(\tfrac23\right)^{m-1} = 1

단계 5:

C_5

는 구간 32개(=

2^5

), 전체 길이

(2/3)^5 = 32/243 \approx 0.13169

이다 — 막대가 가늘어져도 계단의 평평한 단들(예:

(1/3,\,2/3)

위

f = 1/2

)은 그대로이다.

증명 보기

칸토어 집합의 여집합은 제거된 열린 가운데 삼등분 구간들의 서로소 합집합이다. 단계 $m$ 에서 제거되는 각 구간은 $(a,b)$ 꼴이며, $a = 0.c_1\ldots c_{m-1}1_3$ (끝나는 전개), $b = 0.c_1\ldots c_{m-1}2_3$ 이고 $c_1,\ldots,c_{m-1}$ 중에는 $1$ 이 없다. $x \in (a,b)$ 라 하자. $x > a$ 이므로 $m$ 번째 삼진 자리수는 $0$ 일 수 없고 ( $0$ 이면 $x \le 0.c_1\ldots c_{m-1}0222\ldots_3 = a$ 가 된다), $x < b$ 이므로 $2$ 일 수도 없다 ( $2$ 이면 $x \ge 0.c_1\ldots c_{m-1}2000\ldots_3 = b$ 가 된다). 따라서 $c_m(x) = 1$ 이고, 그 앞에 $1$ 이 없으므로 $N(x) = m$ 이다. 즉 $f(x) = \sum_{k<m}(c_k/2)2^{-k} + 2^{-m}$ 으로 $x$ 와 무관한 상수이다 — $f$ 는 모든 여집합 구간 위에서 상수이다. 수치 예: $(1/9,\,2/9)$ 위에서는 $f \equiv 1/4$ , $(1/3,\,2/3)$ 위에서는 $f \equiv 1/2$ 이다.
열린 구간 위에서 상수인 함수는 그 구간의 모든 점에서 도함수가 $0$ 이다 (차분몫이 항등적으로 $0$ 이므로). 따라서 여집합의 모든 점 $x$ 에서 $f'(x) = 0$ 이다 — 계단은 "거의 모든 곳에서" 평평하다.
여집합의 전체 길이는 단계 $m$ 에서 제거되는 $2^{m-1}$ 개의 길이 $3^{-m}$ 구간들을 합한 것으로, $\sum_{m\ge 1} 2^{m-1}3^{-m} = \frac13\sum_{m\ge 1}(2/3)^{m-1} = \frac13\cdot\frac{1}{1-2/3} = 1$ 이다. 즉 $f' = 0$ 인 점들의 집합은 길이가 $1$ 이다 — 계단은 길이가 $0$ 인 칸토어 집합 위에서만 오르면서 전체 $1$ 만큼 상승한다.

$f(1) - f(0) = 1$ 이지만 $\int_0^1 f' = 0$ 임을 계산하고, 따라서 $f$ 가 절대연속이 아님을 증명하세요. 이것이 바로 미적분학 기본정리가 "거의 모든 곳에서 미분가능"보다 강한 가설을 필요로 하는 이유입니다. (절대연속의 정의 자체는 아이디어 수준으로 서술해도 됩니다.)

\text{AC:}\quad \forall\varepsilon > 0\ \exists\delta > 0:\ \sum (y_i - x_i) < \delta \Rightarrow \sum |f(y_i) - f(x_i)| < \varepsilon

f(1) - f(0) = 1,\qquad \int_0^1 f' = 0\ \ (\text{since } f' = 0\ \text{a.e.})

\sum_{C_n\text{ intervals}} (r_i - l_i) = \left(\tfrac23\right)^n,\qquad \sum (f(r_i) - f(l_i)) = 1 \not< \tfrac12

단계 4:

C_4

는 구간 16개(=

2^4

), 전체 길이

(2/3)^4 = 16/81 \approx 0.19753

이다 — 이 가느다란 막대들 위에서만

f

가

0

에서

1

까지 오른다.

증명 보기

문제 1에서 $f$ 는 $[0,1]$ 에서 연속이고 $f(0) = 0$ , $f(1) = 1$ 이므로 $f(1) - f(0) = 1$ 이다. 한편 단조함수는 거의 모든 곳에서 미분가능하다는 르베그 정리와 문제 2에 의해 $f'$ 은 존재하는 거의 모든 점에서 $0$ 이다 — 즉 $f' = 0$ a.e.이므로 (르베그) 적분 $\int_0^1 f' = 0$ 이다.
$f$ 가 절대연속이었다면 미적분학 기본정리에 의해 $f(1) - f(0) = \int_0^1 f'$ 이어야 한다. 그러나 $1 \neq 0$ 이므로 모순이다. 따라서 $f$ 는 절대연속이 아니다 — 연속이고 거의 모든 곳에서 미분가능해도 기본정리가 성립하지 않는다. "거의 모든 곳에서 미분가능"은 적분으로 함수를 복원하기에 충분하지 않고, 절대연속성이 정확한 가설이다.
직접 확인도 된다. 절대연속이란: 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 서로소인 유한 구간족의 길이 합이 $\delta$ 보다 작으면 $|f|$ -증가분 합도 $\varepsilon$ 보다 작게 만드는 $\delta > 0$ 이 존재한다는 뜻이다. $\varepsilon = 1/2$ 를 잡자. $C_n$ 의 $2^n$ 개 구간은 길이 합이 $(2/3)^n \to 0$ 이므로 $n$ 이 크면 어떤 $\delta$ 보다도 작아진다. 그러나 $f$ 는 그 사이의 틈에서는 상수이고 단조증가이므로 $\sum_i (f(r_i) - f(l_i)) = f(1) - f(0) = 1 \ge \varepsilon$ 이다 — 모든 $\delta$ 가 실패한다. 칸토어 집합은 길이는 $0$ 에 가까워도 $f$ -값으로는 $[0,1]$ 전체를 덮는다 ( $f$ 는 $C$ 를 $[0,1]$ 위로 올린다).

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