베어 1급 함수

$n \ge 2$ 에 대해 $f_n(x) = \sum \frac{1}{q}\,\mathrm{tri}(n^3(x - p/q))$ 라 두세요. 합은 $1 \le q \le n$ , $0 \le p \le q$ , $\gcd(p,q) = 1$ 인 기약분수들에 대해서만 취하고, $\mathrm{tri}(t) = \max(0, 1 - |t|)$ 입니다. 각 $f_n$ 이 $[0, 1]$ 에서 연속이고, Thomae 함수 $T$ (기약분수 $p/q$ 에서 $1/q$ , 무리수에서 $0$ , $T(0) = T(1) = 1$ )로 점별수렴 $f_n(x) \to T(x)$ 함을 증명하세요.

f_n(x) = \sum_{\substack{1 \le q \le n \\ 0 \le p \le q \\ \gcd(p,q)=1}} \frac{1}{q}\,\mathrm{tri}\!\left(n^3\left(x - \tfrac{p}{q}\right)\right)

\text{tent width } \frac{2}{n^3} < \frac{1}{n(n-1)} \le \text{ spacing of reduced fractions} \;\Longrightarrow\; \text{disjoint tents}

N = 12

: 47개의 텐트가 서로 겹치지 않습니다.

f_{12}(1/2) = 0.5

,

f_{12}(\sqrt{2}/2) = 0

,

f_{12}(1/3) = 1/3

— 탐침점에서 이미 Thomae 값과 정확히 일치합니다. 아래 증명이 이 점별수렴의 기계입니다.

증명 보기

먼저 합이 기약분수에 대해서만 취해지는 이유를 분명히 합니다. 모든 순서쌍 $(p, q)$ 에 대해 합하면 같은 유리수가 여러 번 세어집니다 ( $1/2 = 2/4 = 3/6 = \cdots$ ). 그러면 $x = 1/2$ 에서 높이가 $1/2 + 1/4 + 1/6 + \cdots$ 로 쌓여 발산하므로 Thomae 함수로 수렴할 수 없습니다. 기약분수만 취하면 각 유리수가 정확히 한 번씩 등장합니다.
각 텐트 $x \mapsto \mathrm{tri}(n^3(x - p/q))$ 는 연속함수들의 합성이므로 연속이고, 합은 유한합(항이 최대 $\sum_{q \le n}(q+1)$ 개)이므로 $f_n$ 은 연속입니다. 또한 $f_n \ge 0$ 입니다.
텐트들은 서로 겹치지 않습니다. 분모가 $\le n$ 인 서로 다른 기약분수 $p/q \ne r/s$ 에 대해 $\left|\frac{p}{q} - \frac{r}{s}\right| = \frac{|ps - qr|}{qs} \ge \frac{1}{qs}$ 입니다. $qs \le n(n-1)$ 이면 이는 $\ge 1/(n(n-1))$ 이고, $qs = n^2$ 이면 $q = s = n$ 이므로 $|ps - qr| = n|p - r| \ge n$ 이어서 몫은 $\ge 1/n \ge 1/(n(n-1))$ 입니다. 따라서 간격은 항상 $\ge 1/(n(n-1))$ 입니다.
텐트의 받침(support) 너비는 $2/n^3$ 인데, $2/n^3 < 1/(n(n-1))$ 입니다 ( $2(n-1) < n^2$ , 즉 $(n-1)^2 + 1 > 0$ ). 따라서 두 텐트의 받침이 겹칠 수 없고, 각 점 $x$ 에서는 최대 하나의 텐트만 0이 아닙니다.
유리수 $x = a/b$ (기약분수, $0 \le a \le b$ )인 경우: $n \ge b$ 이면 $(a, b)$ 텐트가 $\frac{1}{b}\,\mathrm{tri}(0) = 1/b$ 를 기여합니다. 다른 기약분수 $p/q$ ( $q \le n$ )와의 거리는 $\ge 1/(n(n-1)) > 1/n^3$ 이므로 그 텐트는 $x$ 에서 0입니다. 따라서 $f_n(a/b) = 1/b = T(a/b)$ — $n \ge b$ 부터 영원히 정확합니다.
무리수 $x$ 인 경우: $\varepsilon > 0$ 에 대해 $1/Q_0 < \varepsilon$ 인 정수 $Q_0 \ge 1$ 을 택합니다. 분모 $\le Q_0$ 인 기약분수는 $[0, 1]$ 안에 유한개뿐이고 모두 $x$ 와 다르므로, $c := \min|x - p/q| > 0$ 입니다. $n^3 c > 1$ 인 $n$ 에 대해 분모 $\le Q_0$ 인 텐트들은 $x$ 를 빗나가고, 나머지 텐트들의 높이는 $\le 1/(Q_0+1) < \varepsilon$ 이며, $x$ 에서 0이 아닌 텐트는 최대 하나뿐입니다. 따라서 $0 \le f_n(x) < \varepsilon$ — 즉 $f_n(x) \to 0 = T(x)$ 입니다.

Thomae 함수 $T$ 가 모든 유리수에서 불연속이고 모든 무리수에서 연속임을 증명하세요. 즉 $T$ 의 연속점 집합은 무리수 전체 — 조밀한 $G_\delta$ 집합 — 입니다.

T(x) = \begin{cases} 1/q & x = p/q \text{ in lowest terms} \\ 0 & x \text{ irrational} \end{cases}

\{x : T \text{ continuous at } x\} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcap_{q=1}^{\infty} \bigcup_{p \in \mathbb{Z}} \left(\mathbb{R} \setminus \left\{\tfrac{p}{q}\right\}\right)

N = 5

:

f_5

는 11개의 텐트로 이루어진 연속함수입니다. 극한

T

는 유리수

1/2, 1/3

에서는 봉우리(

0.5, 1/3

)를 세우지만 무리수에서는

0

으로 가라앉습니다 — 아래 증명이 이 갈라짐의 이유입니다.

증명 보기

유리수 $r = a/b$ (기약분수)에서는 $T(r) = 1/b > 0$ 입니다. 무리수는 조밀하므로 $r$ 로 수렴하는 무리수열 $x_k \to r$ 이 있고, $T(x_k) = 0 \not\to 1/b = T(r)$ 입니다. 따라서 $T$ 는 $r$ 에서 불연속입니다.
무리수 $x_0$ 에서는 $T(x_0) = 0$ 입니다. $\varepsilon > 0$ 에 대해 $M > 1/\varepsilon$ 인 정수를 택합니다. $1/b \ge \varepsilon$ 인 유리수, 즉 분모 $b \le M$ 인 유리수는 구간 $[x_0 - 1, x_0 + 1]$ 안에 유한개뿐입니다. $\delta$ 를 그 유한집합에서 $x_0$ 까지의 최소 거리라 하면 ( $x_0$ 가 무리수이므로 $\delta > 0$ ), $|x - x_0| < \delta$ 인 모든 $x$ 에 대해: $x$ 가 유리수이면 분모가 $M$ 보다 크므로 $T(x) < \varepsilon$ 이고, 무리수이면 $T(x) = 0$ 입니다. 즉 $|T(x) - T(x_0)| < \varepsilon$ — $T$ 는 $x_0$ 에서 연속입니다.
따라서 연속점 집합은 무리수 전체 $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 입니다. 각 유리수 $\{p/q\}$ 는 닫힌집합이므로 그 여집합은 열린집합이고, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \bigcap_{q \ge 1}\bigcup_{p}(\mathbb{R} \setminus \{p/q\})$ 는 열린집합들의 가산교집합, 즉 $G_\delta$ 입니다. 무리수는 조밀하므로 이는 조밀한 $G_\delta$ 입니다.

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 가 Baire 1급 함수(연속함수열의 점별 극한)라고 하세요. 진동(oscillation) $\omega_f(x) = \inf\{\mathrm{diam}\,f(U) : U \ni x \text{인 근방}\}$ 에 대해 각 집합 $\{x : \omega_f(x) < 1/k\}$ 가 열린 조밀집합임을 증명하고, Baire 카테고리 정리로부터 $f$ 의 연속점 집합이 조밀한 $G_\delta$ 를 포함함을 결론지으세요.

\omega_f(x) = \inf_{U \ni x} \mathrm{diam}\,f(U), \qquad \omega_f(x) = 0 \iff f \text{ continuous at } x

\{x : f \text{ continuous at } x\} \supseteq \bigcap_{k=1}^{\infty} \left\{x : \omega_f(x) < \tfrac{1}{k}\right\}, \text{ a dense } G_\delta

N = 5

: Thomae 함수는 Baire 1급이면서 연속이 아닙니다 — 그래도 연속점(무리수)이 조밀한

G_\delta

를 이룹니다. 아래 증명은 이것이 모든 Baire 1급 함수에 대해 성립함을 보입니다.

증명 보기

먼저 $\omega_f(x) = 0$ 가 $x$ 에서의 연속성과 동치임을 확인합니다. ( $\Rightarrow$ ) $\omega_f(x) = 0$ 이면 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\mathrm{diam}\,f(U) < \varepsilon$ 인 근방 $U$ 가 있어, $y \in U$ 일 때 $|f(y) - f(x)| \le \mathrm{diam}\,f(U) < \varepsilon$ 입니다. ( $\Leftarrow$ ) $f$ 가 $x$ 에서 연속이면 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $f(U) \subseteq (f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon)$ 인 근방 $U$ 가 있어 $\mathrm{diam}\,f(U) \le 2\varepsilon$ , 즉 $\omega_f(x) \le 2\varepsilon$ 입니다. $\varepsilon$ 이 임의이므로 $\omega_f(x) = 0$ 입니다.
$\{x : \omega_f(x) < 1/k\}$ 는 열려 있습니다: $\omega_f(x_0) < c < 1/k$ 이면 $\mathrm{diam}\,f(U) < c$ 인 근방 $U$ 가 존재하고, 모든 $x \in U$ 에 대해 $U$ 자체가 $x$ 의 근방이므로 $\omega_f(x) \le \mathrm{diam}\,f(U) < c < 1/k$ 입니다. 즉 $U \subseteq \{\omega_f < 1/k\}$ 입니다.
이제 조밀성을 보입니다. $f_n \to f$ 를 점별수렴하는 연속함수열이라 하세요. $\mathbb{R}$ 을 길이 $< 1/(2k)$ 인 닫힌구간들 $V_j$ ( $j \in \mathbb{Z}$ )로 덮되, 그 내부들도 $\mathbb{R}$ 을 덮도록 합니다 (예: $V_j = [\frac{j}{8k} - \frac{1}{8k}, \frac{j}{8k} + \frac{1}{8k}]$ ). 비어 있지 않은 열린집합 $U_0$ 를 고정합니다. 각 $x \in U_0$ 에 대해 $f(x)$ 는 어떤 $\mathrm{int}(V_j)$ 에 속하고, $f_m(x) \to f(x)$ 이므로 $m \ge n$ 일 때 $f_m(x) \in V_j$ 인 $n$ 이 존재합니다. 따라서 $U_0 = \bigcup_{n,j} H_{n,j}$ 입니다. 여기서 $H_{n,j} = \{x \in U_0 : m \ge n \Rightarrow f_m(x) \in V_j\}$ 는 $U_0$ 에서 상대적으로 닫힌집합입니다 ( $f_m$ 연속, $V_j$ 닫힘).
$U_0$ 는 완비공간 $\mathbb{R}$ 의 열린부분집합이므로 그 자체로 Baire 공간입니다 (Baire 정리의 중첩 닫힌구간 증명이 $U_0$ 안에서, $\mathbb{R}$ 의 완비성을 써서, 그대로 통합니다). 따라서 어떤 $H_{n_0,j_0}$ 는 $U_0$ 에서 내부가 비어 있지 않습니다: 비어 있지 않은 열린집합 $W \subseteq U_0$ 가 있어 $W \subseteq H_{n_0,j_0}$ 입니다. $y \in W$ 에 대해 $f_m(y) \in V_{j_0}$ ( $m \ge n_0$ )이고 $V_{j_0}$ 가 닫혔으므로 극한 $f(y) \in V_{j_0}$ 입니다. 즉 $f(W) \subseteq V_{j_0}$ 이므로 $\mathrm{diam}\,f(W) < 1/(2k)$ 입니다. $W$ 는 그 안의 각 점 $x$ 의 근방이므로 $\omega_f(x) \le \mathrm{diam}\,f(W) < 1/k$ 입니다. 따라서 $W \subseteq U_0 \cap \{\omega_f < 1/k\} \ne \varnothing$ — $\{\omega_f < 1/k\}$ 는 조밀합니다.
각 $\{\omega_f < 1/k\}$ 가 열린 조밀집합이므로, Baire 카테고리 정리에 의해 $G := \bigcap_{k=1}^{\infty}\{\omega_f < 1/k\}$ 는 조밀한 $G_\delta$ 입니다. 첫 단계에서 $G \subseteq \{\omega_f = 0\} = \{f$ 의 연속점 $\}$ 이므로, $f$ 의 연속점 집합은 조밀한 $G_\delta$ 를 포함합니다. ∎

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