망원급수

각 항을 1n−1n+1\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}로 쪼개면 이웃끼리 서로 지워지고 처음의 1과 사라져 가는 꼬리만 남는 모습을 확인합니다.

∑n=1∞1n(n+1)=1\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

예제

∑n=1N1n(n+1)=NN+1\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)} = \frac{N}{N+1}임을 증명하고, 급수의 합이 11임을 보이세요.

SN=(1−12)+(12−13)+⋯+(1N−1N+1)=1−1N+1S_N = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right) = 1-\frac{1}{N+1}
N=24N = 24: S24=24/25=0.96S_{24} = 24/25 = 0.96, 꼬리 1/251/25만 남습니다.
증명 보기
  1. 1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}입니다 (통분하면 확인됩니다).
  2. 합하면 이웃 항이 소거됩니다: SN=1−1N+1=NN+1S_N = 1 - \frac{1}{N+1} = \frac{N}{N+1}.
  3. N→∞N \to \infty에서 1N+1→0\frac{1}{N+1} \to 0이므로 급수의 합은 11입니다.

∑n=1∞1n(n+2)=34\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} = \frac{3}{4}를 증명하세요.

1n(n+2)=12(1n−1n+2)\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)
이웃이 아닌 두 칸 건너 항이 소거됩니다.
증명 보기
  1. 부분분수: 1n(n+2)=12(1n−1n+2)\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)입니다.
  2. SN=12[(1+12+⋯+1N)−(13+⋯+1N+2)]=12(1+12−1N+1−1N+2)S_N = \frac{1}{2}\left[\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{N}\right)-\left(\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N+2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}\right)입니다.
  3. N→∞N \to \infty에서 꼬리가 사라져 12⋅32=34\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3}{4}가 됩니다.

∑n=1∞(n+1−n)\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)이 발산함을 보이세요.

SN=N+1−1→∞S_N = \sqrt{N+1}-1 \to \infty
망원합이지만, 소거 후 남는 것이 무한대로 갑니다.
증명 보기
  1. SN=(2−1)+(3−2)+⋯+(N+1−N)=N+1−1S_N = (\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+\cdots+(\sqrt{N+1}-\sqrt{N}) = \sqrt{N+1}-1입니다.
  2. N+1→∞\sqrt{N+1} \to \infty이므로 부분합은 유계가 아닙니다.
  3. 망원합이라고 항상 수렴하는 것은 아닙니다 — 소거 후 남는 항이 00으로 가야 수렴합니다.

6. 급수