라베 판정법

라베 판정법을 진술하고, $p$ -급수와의 비교를 이용해 증명하세요.

L=\lim_{k\to\infty}k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right),\qquad L>1\Rightarrow\sum a_k\ \text{converges},\quad L<1\Rightarrow\sum a_k\ \text{diverges}

n = 100

:

R_{100} \approx 1.4975

— 경계

1

위에 안착하며

\frac{3}{2}

를 향해 올라갑니다.

증명 보기

라베 판정법: $a_k > 0$ 이고 $L = \lim_{k\to\infty} k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}} - 1\right)$ 가 존재하면, $L > 1$ 일 때 $\sum a_k$ 는 수렴하고, $L < 1$ 일 때 $\sum a_k$ 는 발산합니다. (이하 모든 부등식은 충분히 큰 $k$ 에서 성립한다고 읽으세요.)
기준으로 쓸 비교 급수는 $p$ -급수 $b_k = \frac{1}{k^r}$ 입니다. $\frac{b_k}{b_{k+1}} = \left(\frac{k+1}{k}\right)^r = \left(1+\frac{1}{k}\right)^r$ 이고, $\left(1+\frac{1}{k}\right)^r = 1+\frac{r}{k}+o\left(\frac{1}{k}\right)$ 이므로 $k\left(\frac{b_k}{b_{k+1}}-1\right) \to r$ 입니다 — 즉 $b_k$ 는 라베 값이 정확히 $r$ 인 급수입니다.
$L > 1$ 인 경우: $1 < r < L$ 인 $r$ 을 잡습니다. $k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)$ 는 $L$ 로, $k\left(\frac{b_k}{b_{k+1}}-1\right)$ 는 $r$ 로 수렴하므로, 결국 $\frac{a_k}{a_{k+1}}-1 > \frac{b_k}{b_{k+1}}-1$ , 즉 $\frac{a_{k+1}}{a_k} < \frac{b_{k+1}}{b_k}$ 가 성립합니다. $a_{k+1}b_k < a_k b_{k+1}$ , 즉 $\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}} < \frac{a_k}{b_k}$ 이므로 $\frac{a_k}{b_k}$ 는 단조감소하고 $a_k \le Cb_k$ 가 되어, 수렴하는 $\sum b_k$ ( $\(r > 1$ )와 비교 판정법으로 $\sum a_k$ 가 수렴합니다.
$L < 1$ 인 경우: $L < r < 1$ 인 $r$ 을 잡으면 부등식이 뒤집혀 $\frac{a_{k+1}}{a_k} > \frac{b_{k+1}}{b_k}$ 가 되고, $\frac{a_k}{b_k}$ 는 단조증가하여 $a_k \ge cb_k$ ( $c > 0$ )를 얻습니다. 발산하는 $\sum b_k$ ( $\(r < 1$ )와의 비교 판정법으로 $\sum a_k$ 가 발산합니다.

$u_k = \frac{\binom{2k}{k}}{4^k}$ 에 대해 $a_k = \frac{u_k}{2k+1}$ 이라 둘 때, $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ 가 수렴함을 라베 판정법으로 증명하세요. 비율 판정법이 왜 침묵하는지도 보이세요.

\frac{a_k}{a_{k+1}}=\frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2},\qquad R_k=k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)=\frac{k(6k+5)}{4k^2+4k+1}\to\frac{3}{2}>1

n = 30

:

R_{30} \approx 1.4915

(경계

1

위),

r_{30} \approx 0.9526

—

r_k

는 1에 달라붙지만

R_k

는 1 위에 안착합니다.

증명 보기

먼저 비율부터 계산합니다. $\frac{u_{k+1}}{u_k} = \frac{(2k+2)(2k+1)}{(k+1)^2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{2k+1}{2k+2}$ 이므로, $\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{u_k}{u_{k+1}}\cdot\frac{2k+3}{2k+1} = \frac{2k+2}{2k+1}\cdot\frac{2k+3}{2k+1} = \frac{2(k+1)(2k+3)}{(2k+1)^2}$ 입니다.
분자를 전개하면 $2(k+1)(2k+3) = 4k^2+10k+6$ 이고 분모는 $(2k+1)^2 = 4k^2+4k+1$ 이므로, $\frac{a_k}{a_{k+1}}-1 = \frac{6k+5}{4k^2+4k+1}$ 입니다. 따라서 $R_k = k\frac{6k+5}{4k^2+4k+1} \to \frac{6}{4} = \frac{3}{2} > 1$ 이며, 라베 판정법으로 $\sum a_k$ 는 수렴합니다.
한편 $\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{4k^2+4k+1}{4k^2+10k+6} \to 1$ 이므로 비율 판정법은 극한이 $1$ 이라 아무 결론도 내지 못합니다: $r_1 = \frac{9}{20}, r_2 = \frac{25}{42}, r_3 = \frac{49}{72}$ 에서 시작해 위로 기어오릅니다. 라베의 $R_k$ 가 비율보다 한 단계 더 깊이 들여다본 것입니다.

$k \ge 2$ 에서 $a_k = \frac{1}{k(\ln k)^p}$ 라 둘 때, 모든 $p$ 에 대해 라베 극한이 $1$ 임을 보이고, 이 경계가 진짜로 결론을 내지 못함을 — $\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k(\ln k)^2}$ 는 수렴하고 $\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k\ln k}$ 는 발산하므로 — 적분 판정법으로 증명하세요.

k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right)=1+\frac{p}{\ln k}+o(1)\to 1\qquad(\text{for every }p)

n = 200

:

p = 2

는

R_{200} \approx 1.3786

,

p = 1

은

R_{200} \approx 1.1892

— 둘 다

1

로 기어내려갑니다.

증명 보기

$\frac{a_k}{a_{k+1}} = \frac{k+1}{k}\left(\frac{\ln(k+1)}{\ln k}\right)^p = \left(1+\frac{1}{k}\right)\left(1+\frac{\ln(1+1/k)}{\ln k}\right)^p$ 입니다. $\ln\left(1+\frac{1}{k}\right) = \frac{1}{k}+O\left(\frac{1}{k^2}\right)$ 이고 $(1+x)^p = 1+px+o(x)$ 이므로, 괄호 안은 $1+\frac{p}{k\ln k}+o\left(\frac{1}{k}\right)$ 가 됩니다.
곱하면 $\frac{a_k}{a_{k+1}} = 1+\frac{1}{k}+\frac{p}{k\ln k}+o\left(\frac{1}{k}\right)$ 이므로, $k\left(\frac{a_k}{a_{k+1}}-1\right) = 1+\frac{p}{\ln k}+o(1) \to 1$ 입니다 — $p$ 가 무엇이든 라베 극한은 $1$ 로 같습니다.
그러나 두 급수의 운명은 다릅니다. $t = \ln x$ 로 치환하면 $\int_2^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^p} = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{dt}{t^p}$ 이므로, 적분 판정법으로 $\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k(\ln k)^2}$ 는 $\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-2}\,dt = \frac{1}{\ln 2}$ 로 수렴하고, $\sum_{k\ge 2}\frac{1}{k\ln k}$ 는 $\int_{\ln 2}^{\infty}t^{-1}\,dt = \infty$ 로 발산합니다. $L = 1$ 에서는 라베 판정법이 진짜로 침묵합니다.

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