조화급수의 발산

$2^m$ 개의 항까지의 부분합이 $1 + \frac{m}{2}$ 이상임을 오레스메 묶음으로 보이고, 조화급수가 발산함을 증명하세요.

S_{2^m} \ge 1 + \frac{m}{2} \to \infty

n = 1024 = 2^{10}

— 오레스메 하한

1 + 10/2 = 6

위에서 자랍니다.

증명 보기

항들을 묶습니다: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{1}{4}+\frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ , $\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{8} > 4\cdot\frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ . 일반적으로 $\frac{1}{2^{m-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^m} > 2^{m-1}\cdot\frac{1}{2^m} = \frac{1}{2}$ 입니다.
따라서 $S_{2^m} = 1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) + \cdots \ge 1 + m\cdot\frac{1}{2} = 1 + \frac{m}{2}$ 입니다.
$m \to \infty$ 이면 우변이 무한대로 가므로 $(S_n)$ 은 유계가 아닙니다. 단조증가 수열이 유계가 아니면 발산하므로, 조화급수는 발산합니다.

교대조화급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$ 가 수렴함을 교대급수 판정법으로 증명하세요. (합이 $\ln 2$ 라는 것은 알려진 사실로 둡니다.)

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots

대조용: 부호 없이 더하면

S_n

은 끝없이 자라지만, 부호를 번갈면 수렴합니다.

증명 보기

교대급수 판정법: $b_n \downarrow 0$ 이면 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ 이 수렴합니다. 여기서는 $b_n = \frac{1}{n}$ 이 감소하며 $0$ 으로 갑니다.
직접 보이면: 짝수 부분합 $T_{2m} = \left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots$ 는 각 괄호가 양수이므로 증가하고 $T_{2m} < 1$ 로 유계이니 수렴합니다. 홀수 부분합 $T_{2m+1} = T_{2m}+\frac{1}{2m+1}$ 은 같은 극한으로 갑니다.
따라서 교대조화급수는 수렴합니다. (합이 $\ln 2$ 라는 것은 여기서 증명하지 않습니다.)

$p$ -급수 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ 가 $p > 1$ 일 때 수렴하고 $p \le 1$ 일 때 발산함을 적분 판정법으로 증명하세요.

\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n^p} \le 1 + \int_{1}^{N}\frac{dx}{x^p}

p = 1

인 경우: 적분 판정법의 발산 쪽을 보여줍니다.

증명 보기

$f(x) = \frac{1}{x^p}$ 는 양의 감소함수입니다. $n \ge 2$ 에서 $\frac{1}{n^p} \le \int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x^p}$ 이므로, $S_N \le 1 + \int_{1}^{N}\frac{dx}{x^p}$ 입니다.
$p > 1$ 이면 $\int_{1}^{N}\frac{dx}{x^p} = \frac{1 - N^{1-p}}{p-1} < \frac{1}{p-1}$ 로 유계이므로, 단조증가하는 부분합이 유계 → 수렴합니다.
$p \le 1$ 이면 $\frac{1}{n^p} \ge \frac{1}{n}$ 이므로 조화급수와의 비교로 발산합니다.

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