기하급수: 정사각형 채우기

단위 정사각형을 남은 부분의 절반씩 채워 나가면 빈틈이 매 단계 절반으로 줄며 합이 1이 되는 모습을 확인합니다.

12+14+18+⋯=1\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1

예제

SN=1+r+⋯+rN=1−rN+11−rS_N = 1+r+\cdots+r^N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r} (r≠1r \ne 1)를 증명하고, ∣r∣<1|r| < 1일 때 11−r\frac{1}{1-r}로 수렴함을 보이세요.

SN−rSN=1−rN+1S_N - rS_N = 1 - r^{N+1}
r=12r = \frac{1}{2}: 빈틈 (1/2)12(1/2)^{12}만 남습니다.
증명 보기
  1. SN−rSN=(1+r+⋯+rN)−(r+⋯+rN+1)=1−rN+1S_N - rS_N = (1+r+\cdots+r^N) - (r+\cdots+r^{N+1}) = 1-r^{N+1}입니다. 중간 항이 모두 소거됩니다.
  2. r≠1r \ne 1이면 SN=1−rN+11−rS_N = \frac{1-r^{N+1}}{1-r}입니다.
  3. ∣r∣<1|r| < 1이면 rN+1→0r^{N+1} \to 0이므로 SN→11−rS_N \to \frac{1}{1-r}입니다.

0.999⋯=10.999\cdots = 1임을 기하급수로 증명하세요.

0.999⋯=9∑k=1∞(110)k=9⋅1/101−1/10=10.999\cdots = 9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k = 9\cdot\frac{1/10}{1-1/10} = 1
같은 대수, r=110r = \frac{1}{10} 버전입니다.
증명 보기
  1. 0.999⋯=910+9100+⋯=9∑k=1∞(110)k0.999\cdots = \frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\cdots = 9\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^k입니다.
  2. 앞 문제의 공식에 r=110r = \frac{1}{10}: 합 =9⋅1/101−1/10=9⋅19=1= 9\cdot\frac{1/10}{1-1/10} = 9\cdot\frac{1}{9} = 1입니다.

∑n=1∞n2n=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n} = 2를 S−S2S - \frac{S}{2} 트릭으로 증명하세요.

S−S2=∑n=1∞12n=1S - \frac{S}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 1
가중치가 붙어도 같은 아이디어가 통합니다.
증명 보기
  1. S=∑n=1∞n2nS = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}라 두면, S2=∑n=1∞n2n+1=∑n=2∞n−12n\frac{S}{2} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n+1}} = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{n-1}{2^n}입니다 (지표 이동).
  2. 절대수렴하므로 항별 뺄셈이 정당합니다: S−S2=12+∑n=2∞12n=∑n=1∞12n=1S-\frac{S}{2} = \frac{1}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = 1.
  3. 따라서 S2=1\frac{S}{2} = 1, 즉 S=2S = 2입니다.

6. 급수