e로 가는 두 길

복리 (1+1n)n(1+\frac{1}{n})^n과 급수 ∑k=0∞1k!\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}가 ee에 다가가는 속도를 견주어 확인합니다. 팩토리얼 급수가 압도적으로 빠릅니다.

e=∑k=0∞1k!e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}
e=lim⁡n→∞(1+1n)ne=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n

예제

ee가 무리수임을 증명하세요.

0<q!(e−∑k=0q1k!)<10 < q!\left(e - \sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}\right) < 1
n=10n = 10: 급수는 이미 ee에 3×10−83\times 10^{-8} 이내로 다가갑니다.
증명 보기
  1. 먼저 2<e<32 < e < 3입니다: e=∑k=0∞1k!>1+1=2e = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} > 1+1 = 2이고, k≥1k \ge 1에서 k!≥2k−1k! \ge 2^{k-1}이므로 e<1+1+12+14+⋯=3e < 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots = 3입니다. 따라서 e=pqe = \frac{p}{q}라면 q≥2q \ge 2입니다.
  2. q!e=(q−1)! pq!e = (q-1)!\,p는 정수이고, ∑k=0qq!k!\sum_{k=0}^{q}\frac{q!}{k!}도 정수입니다. 꼬리를 T=q!(e−∑k=0q1k!)T = q!\left(e - \sum_{k=0}^{q}\frac{1}{k!}\right)라 두면, T=1q+1+1(q+1)(q+2)+⋯T = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+1)(q+2)}+\cdots이므로 0<T<1q+1(1+1q+1+⋯ )=1q≤12<10 < T < \frac{1}{q+1}\left(1+\frac{1}{q+1}+\cdots\right) = \frac{1}{q} \le \frac{1}{2} < 1입니다.
  3. 그런데 q!e=(정수)+Tq!e = \text{(정수)} + T이므로 q!eq!e는 정수가 아닙니다 — 모순입니다. 따라서 ee는 무리수입니다.

나머지 추정 Rn=∑k>n1k!<1n⋅n!R_n = \sum_{k>n}\frac{1}{k!} < \frac{1}{n\cdot n!}을 증명하세요.

Rn<1(n+1)!(1+1n+1+1(n+1)2+⋯ )=1n⋅n!R_n < \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots\right)=\frac{1}{n\cdot n!}
n=10n = 10: 실제 나머지 ≈2.73×10−8\approx 2.73\times 10^{-8}, 한계 ≈2.76×10−8\approx 2.76\times 10^{-8}.
증명 보기
  1. Rn=1(n+1)!+1(n+2)!+⋯=1(n+1)!(1+1n+2+1(n+2)(n+3)+⋯ )R_n = \frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots = \frac{1}{(n+1)!}\left(1+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\cdots\right)입니다.
  2. 괄호 안은 1+1n+1+1(n+1)2+⋯=n+1n1+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots = \frac{n+1}{n}보다 작습니다 (기하급수).
  3. 따라서 Rn<1(n+1)!⋅n+1n=1n⋅n!R_n < \frac{1}{(n+1)!}\cdot\frac{n+1}{n} = \frac{1}{n\cdot n!}입니다. 팩토리얼 급수가 압도적으로 빠른 이유가 바로 이 추정입니다.

(1+1n)n\left(1+\frac{1}{n}\right)^n이 ee 아래에서 증가함을 보이세요.

(1+1n)n=∑k=0n1k!∏j=0k−1(1−jn)<e\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) < e
sn+1−sn≥(an+1,2−an,2)+an+1,n+1>0s_{n+1} - s_n \ge (a_{n+1,2} - a_{n,2}) + a_{n+1,n+1} > 0
n=30n = 30: 복리 길은 ee에 한참 못 미칩니다.
증명 보기
  1. sn=(1+1n)ns_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n라 둡니다. 이항정리로 sn=∑k=0n(nk)1nks_n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}이고, (nk)1nk=1k!∏j=0k−1(1−jn)\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right) (k=0k = 0이면 빈 곱 =1= 1)이므로 sn=∑k=0nan,ks_n = \sum_{k=0}^{n} a_{n,k} (단 an,k=1k!∏j=0k−1(1−jn)a_{n,k} = \frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right))입니다.
  2. 항별 비교: 고정된 k≥1k \ge 1에 대해 0<j≤k−10 < j \le k-1이면 (1−jn)<(1−jn+1)\left(1-\frac{j}{n}\right) < \left(1-\frac{j}{n+1}\right) (nn이 커지면 빼는 양이 작아짐)이므로 an,k≤an+1,ka_{n,k} \le a_{n+1,k} — k≥2k \ge 2이면 인자 j=1j = 1에서 엄밀히 작아져 an,k<an+1,ka_{n,k} < a_{n+1,k}입니다. 모든 항은 양수입니다.
  3. 따라서 sn+1=∑k=0n+1an+1,k=∑k=0nan+1,k+an+1,n+1≥∑k=0nan,k+(an+1,2−an,2)⏟> 0+an+1,n+1⏟> 0>sns_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} a_{n+1,k} = \sum_{k=0}^{n} a_{n+1,k} + a_{n+1,n+1} \ge \sum_{k=0}^{n} a_{n,k} + \underbrace{(a_{n+1,2} - a_{n,2})}_{>\,0} + \underbrace{a_{n+1,n+1}}_{>\,0} > s_n입니다 — 항별 증가에 항 하나 추가가 더해진 것입니다. 즉 sns_n은 엄밀히 증가합니다.
  4. 각 인자 (1−jn)<1\left(1-\frac{j}{n}\right) < 1이므로 an,k<1k!a_{n,k} < \frac{1}{k!}이고, sn<∑k=0n1k!<∑k=0∞1k!=es_n < \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} < \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} = e — sns_n은 ee 아래에서 증가합니다. 모든 단계가 완성되었습니다.

8. 거듭제곱급수