디리클레 판정법

부분합이 1/∣sin⁡(x/2)∣1/|\sin(x/2)| 안에 갇혀 흔들리는 sin⁡(kx)\sin(kx)와 00으로 가라앉는 1/n1/n이 만나 ∑n=1∞sin⁡(nx)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}이 수렴합니다 — 디리클레 판정법.

∑k=1Nsin⁡(kx)=sin⁡Nx2 sin⁡(N+1)x2sin⁡x2,∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\sum_{k=1}^{N}\sin(kx) = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}},\quad \left|\sum_{k=1}^{N}\sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
∑n=1∞sin⁡(nx)n=π−x2,x∈(0,2π)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n} = \frac{\pi-x}{2},\quad x \in (0, 2\pi)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

2π2\pi의 배수가 아닌 모든 xx에 대해 ∑n=1∞sin⁡(nx)n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}이 수렴함을 보이세요.

∑k=1Nsin⁡(kx)=sin⁡Nx2 sin⁡(N+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{N} \sin(kx) = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\,\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}
∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\left|\sum_{k=1}^{N} \sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}
x=1x=1: 부분합 ∣∑k≤Nsin⁡(kx)∣\left\lvert\sum_{k \le N}\sin(kx)\right\rvert이 1/sin⁡(0.5)≈2.08581/\sin(0.5) \approx 2.0858 아래에 갇혀 있습니다.
증명 보기
  1. xx가 2π2\pi의 배수가 아니면 sin⁡(x/2)≠0\sin(x/2) \neq 0이다. 곱-합 공식 2sin⁡x2sin⁡(kx)=cos⁡(k−12)x−cos⁡(k+12)x2\sin\frac{x}{2}\sin(kx) = \cos\left(k-\tfrac{1}{2}\right)x - \cos\left(k+\tfrac{1}{2}\right)x를 k=1k = 1부터 NN까지 더하면 망원급수가 되어 ∑k=1Nsin⁡(kx)=cos⁡x2−cos⁡(N+12)x2sin⁡x2=sin⁡Nx2sin⁡(N+1)x2sin⁡x2\sum_{k=1}^{N} \sin(kx) = \frac{\cos\frac{x}{2} - \cos\left(N+\tfrac{1}{2}\right)x}{2\sin\frac{x}{2}} = \frac{\sin\frac{Nx}{2}\sin\frac{(N+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}이다.
  2. 분자의 두 인자는 각각 절댓값이 11 이하이므로, 부분합은 NN과 무관하게 ∣∑k=1Nsin⁡(kx)∣≤1∣sin⁡(x/2)∣\left\lvert\sum_{k=1}^{N} \sin(kx)\right\rvert \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}로 유계이다. x=1x = 1이면 1/sin⁡(0.5)≈2.08581/\sin(0.5) \approx 2.0858 — 캡션의 수치와 일치한다.
  3. bn=1/nb_n = 1/n은 단조 감소하며 00으로 간다. an=sin⁡(nx)a_n = \sin(nx)의 부분합이 유계이므로 디리클레 판정법(부분합에 의한 합산 변환)에 의해 ∑n=1∞anbn=∑n=1∞sin⁡(nx)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}이 수렴한다. (실제로 x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi)에서 이 급수는 (π−x)/2(\pi - x)/2이다.)

라이프니츠 교대급수 판정법이 디리클레 판정법의 따름정리임을 보이세요.

∣∑n=1N(−1)n∣≤1\left|\sum_{n=1}^{N} (-1)^n\right| \le 1
교대 부호의 부분합 ∣∑n≤N(−1)n∣\left\lvert\sum_{n \le N}(-1)^n\right\rvert은 11 이하 — 라이프니츠 판정법이 디리클레 판정법의 따름정리입니다.
증명 보기
  1. an=(−1)na_n = (-1)^n이라 두면 부분합은 NN이 짝수일 때 00, 홀수일 때 −1-1이다. 따라서 모든 NN에 대해 ∣∑n=1Nan∣≤1\left\lvert\sum_{n=1}^{N} a_n\right\rvert \le 1 — 디리클레 판정법의 유계 조건이 성립한다.
  2. 라이프니츠 판정법의 가정은 bn↓0b_n \downarrow 0이다. 디리클레 판정법을 (an,bn)(a_n, b_n) 쌍에 적용하면 ∑n=1∞(−1)nbn\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n b_n의 수렴이 바로 따라 나온다 — 교대급수 판정법은 디리클레 판정법에서 an=(−1)na_n = (-1)^n인 경우이다.

∑n=1∞(−1)nnn2+1\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}이 수렴함을 보이세요.

bn=nn2+1,bn>bn+1  ⟺  n2+n−1>0b_n = \frac{n}{n^2+1}, \qquad b_n > b_{n+1} \iff n^2+n-1 > 0
b1=0.5>b2=0.4>⋯b_1 = 0.5 > b_2 = 0.4 > \cdots: bn=nn2+1b_n = \frac{n}{n^2+1}은 n≥1n \ge 1에서 단조 감소하며 00으로 갑니다.
증명 보기
  1. an=(−1)na_n = (-1)^n의 부분합은 모든 NN에 대해 절댓값이 11 이하이다(앞 문제와 같음). bn=nn2+1b_n = \frac{n}{n^2+1}은 0<bn<1n0 < b_n < \frac{1}{n}이므로 bn→0b_n \to 0이다.
  2. bnb_n의 단조성: bn>bn+1b_n > b_{n+1}은 통분하면 n((n+1)2+1)>(n+1)(n2+1)n\left((n+1)^2+1\right) > (n+1)(n^2+1)과 동치이고, 이는 n3+2n2+2n>n3+n2+n+1n^3+2n^2+2n > n^3+n^2+n+1, 즉 n2+n−1>0n^2+n-1 > 0과 동치이다. n=1n = 1에서 12+1−1=1>01^2+1-1 = 1 > 0이므로 모든 n≥1n \ge 1에서 성립한다. 따라서 bn↓0b_n \downarrow 0.
  3. b1=12=0.5>b2=25=0.4b_1 = \frac{1}{2} = 0.5 > b_2 = \frac{2}{5} = 0.4 — 캡션의 수치와 일치한다. 디리클레 판정법에 의해 ∑n=1∞(−1)nnn2+1\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n}{n^2+1}은 수렴한다.

6. 급수