아벨 판정법

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 이 수렴하고 $(b_n)$ 이 단조이면서 유계이면 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 도 수렴함을 보이세요 (아벨 판정법).

A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k, \qquad \sum_{k=m}^{n} a_k b_k = A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m + \sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})

\sum_{k=m}^{n} |b_k - b_{k+1}| = |b_m - b_{n+1}| \le 2M \quad \text{(monotone, } |b_k| \le M\text{)}

a_k = (-1)^k/k

,

b_k = 2 + 1/k

:

S_{120} \approx -2.2004

가

-2\ln 2 - \pi^2/12 \approx -2.2088

을 향해 안정됩니다.

증명 보기

$A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ 이라 두자. 가정에 의해 $A_n \to A$ 로 수렴한다. 부분합에 의한 합산 변환(아벨 변환)을 쓰면 $m \le n$ 에 대해 $\sum_{k=m}^{n} a_k b_k = A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m + \sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$ 이다. 이는 $a_k = A_k - A_{k-1}$ 을 대입하고 망원합으로 정리하면 직접 확인할 수 있다.
이제 $A_k = A + \varepsilon_k$ 라 쓰면 $\varepsilon_k \to 0$ 이다. 합 $\sum_{k=m}^{n} A_k (b_k - b_{k+1})$ 은 $A(b_m - b_{n+1}) + \sum_{k=m}^{n} \varepsilon_k (b_k - b_{k+1})$ 로 나뉜다. 앞부분은 망원합이다.
핵심은 $(b_k)$ 의 단조성이다. 단조수열의 차분은 부호가 일정하므로 $\sum_{k=m}^{n} |b_k - b_{k+1}| = |b_m - b_{n+1}|$ 이다. 유계성 $|b_k| \le M$ 에서 이는 $2M$ 이하이다. 따라서 $\left|\sum_{k=m}^{n} \varepsilon_k (b_k - b_{k+1})\right| \le \max_{m \le k \le n} |\varepsilon_k| \cdot 2M$ 이다. 임의의 $\eta > 0$ 에 대해 $m$ 을 충분히 크게 잡으면 이 항은 $\eta \cdot 2M$ 보다 작아진다.
한편 경계항 $A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m$ 을 보자. $b_k \to b$ 로 수렴하므로( $b$ 는 단조·유계 수열의 극한) $A_n b_{n+1} - A_{m-1} b_m \to A b - A b = 0$ — 코시 의미에서 $m, n \to \infty$ 일 때 $0$ 으로 간다. 이를 앞 항과 합치면 $\sum_{k=m}^{n} a_k b_k$ 의 꼬리가 임의로 작아지므로 $\sum a_k b_k$ 의 부분합은 코시 수열이다. 따라서 수렴한다.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}\left(2 + \frac{1}{k}\right)$ 이 수렴함을 보이세요. 디리클레 판정법이 직접 적용되지 않는 이유도 설명하세요.

a_k = \frac{(-1)^k}{k}, \qquad b_k = 2 + \frac{1}{k} \downarrow 2 \ne 0

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}\left(2 + \frac{1}{k}\right) = -2\ln 2 - \frac{\pi^2}{12} \approx -2.2088

b_k = 2 + 1/k

는 감소하면서

2

로 가서

0

에 가지 않습니다 — 점선 가중치가

0

이 아닌 높이에 머무는 것을 보세요.

증명 보기

$a_k = (-1)^k/k$ 라 두면 $\sum a_k$ 는 교대급수(라이프니츠 판정법)로 수렴하고, 실제로 그 합은 $-\ln 2$ 이다. $b_k = 2 + 1/k$ 는 감소수열이고 $2 \le b_k \le 3$ 이므로 유계이다.
아벨 판정법의 조건이 그대로 성립하므로 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}\left(2 + \frac{1}{k}\right)$ 은 수렴한다.
디리클레 판정법이 직접 적용되지 않는 이유: 그 가설은 $b_k$ 가 단조로 $0$ 으로 가야 한다고 요구하는데, 여기서는 $b_k \to 2 \ne 0$ 이다. 물론 급수를 $2\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2}$ 로 쪼개서 각각 수렴을 보일 수도 있지만, 그것은 아벨 판정법의 한계에 디리클레 판정법을 우회 적용하는 별개의 논증이지, 디리클레 판정법의 직접 적용이 아니다.
정확값도 구할 수 있다: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k^2} = -\eta(2) = -\frac{\pi^2}{12}$ 이므로 극한은 $-2\ln 2 - \pi^2/12 \approx -2.2088$ 이다 — 미니 비주얼에서 $S_{500} \approx -2.2068$ 로 수렴하는 모습과 일치한다.

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cdot \frac{k}{k+1}$ 이 수렴함을 보이세요.

b_k = \frac{k}{k+1}, \qquad \frac{k}{k+1} < \frac{k+1}{k+2} \iff k(k+2) < (k+1)^2 \iff 0 < 1

S_{120} \approx -0.2090

: 가중치

\frac{k}{k+1}

이

0

에서

1

로 올라가도 부분합은 안정됩니다.

증명 보기

$a_k = (-1)^k/\sqrt{k}$ 라 두면 $1/\sqrt{k} \downarrow 0$ 이므로 라이프니츠 판정법으로 $\sum a_k$ 가 수렴한다(조건수렴). $b_k = \frac{k}{k+1}$ 에 대해 $b_k < b_{k+1}$ 은 통분하면 $k(k+2) < (k+1)^2$ , 즉 $k^2 + 2k < k^2 + 2k + 1$ 과 동치이므로 $0 < 1$ 이 성립 — 따라서 $(b_k)$ 는 증가수열이다.
$b_k = \frac{k}{k+1} = 1 - \frac{1}{k+1}$ 이므로 $0 < b_k < 1$ — 유계이고 $\lim b_k = 1 \ne 0$ 이다. 디리클레 판정법의 “ $b_k \to 0$ ” 가설은 또다시 실패한다.
$\sum a_k$ 가 수렴하고 $(b_k)$ 가 단조·유계이므로 아벨 판정법에 의해 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}} \cdot \frac{k}{k+1}$ 은 수렴한다. 수치로도 확인할 수 있다: $S_{120} \approx -0.2090$ , $S_{400} \approx -0.2292$ , $S_{500} \approx -0.2318$ 로 꼬리가 안정된다.

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