전칭·존재 양화사

수직선 위의 게임입니다: 도전자가

x

를 제시하면 답하는 쪽이 더 큰

y = x + 1

을 올려놓습니다 —

\forall x \,\exists y \,(y > x)

. 순서를 바꾸면 같은 게임이 무너집니다. 그리고

\varepsilon

\delta

줄은 이 패턴 그대로이며,

f(t) = 2t

에서는

\delta = \varepsilon/2

가 답입니다.

예제

점 $a$ 에서의 연속성의 $\varepsilon$ - $\delta$ 정의 — "모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 $x$ 에 대해 $|x-a| < \delta$ 이면 $|f(x)-f(a)| < \varepsilon$ 인 $\delta > 0$ 이 존재한다" — 를 완전히 부정하세요. 부정된 명제가 $f$ 에 대해 정확히 무엇을 말하는지 풀어서 설명하세요.

\lnot\big(\forall\varepsilon{>}0\ \exists\delta{>}0\ \forall x\,(|x-a|<\delta \to |f(x)-f(a)|<\varepsilon)\big)

\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists x\,(|x-a|<\delta \;\land\; |f(x)-f(a)|\ge\varepsilon)

명제

\varepsilon

\delta

(

\varepsilon = 2.5

\delta = \varepsilon/2 = 1.25

), 부정 사슬 표시: 마지막 단계

\exists\varepsilon{>}0\ \forall\delta{>}0\ \exists t\,(|t| < \delta \land |2t| \ge \varepsilon)

증명 보기

바깥의 부정을 한 단계씩 안으로 밀며 양화사를 뒤집습니다 ( $\lnot\forall = \exists\lnot$ , $\lnot\exists = \forall\lnot$ ). 1단계: $\exists\varepsilon > 0\ \lnot\big(\exists\delta > 0\ \forall x\,(|x-a| < \delta \to |f(x)-f(a)| < \varepsilon)\big)$ . 2단계: $\exists\varepsilon > 0\ \forall\delta > 0\ \lnot\big(\forall x\,(|x-a| < \delta \to |f(x)-f(a)| < \varepsilon)\big)$ .
3단계: $\exists\varepsilon > 0\ \forall\delta > 0\ \exists x\ \lnot\big(|x-a| < \delta \to |f(x)-f(a)| < \varepsilon\big)$ . 마지막으로 함의의 부정을 사용합니다: $\lnot(P \to Q) \equiv P \land \lnot Q$ (논제 1의 문제 3). 따라서 최종 부정은 $\exists\varepsilon > 0\ \forall\delta > 0\ \exists x\,\big(|x-a| < \delta \land |f(x)-f(a)| \ge \varepsilon\big)$ 입니다.
이 명제가 $f$ 에 대해 말하는 바: 고정된 간격 $\varepsilon > 0$ 이 존재해서, $a$ 에 아무리 가까이 다가가도 ( $\delta$ 를 아무리 작게 잡아도) $f(x)$ 가 $f(a)$ 로부터 $\varepsilon$ 이상 떨어진 점 $x$ 가 항상 존재합니다 — 즉 $f$ 는 $a$ 에서 "끊어져" 있습니다. 이것이 정확히 " $f$ 는 $a$ 에서 불연속"의 정의입니다.

$\forall x \in \mathbb{R}\ \exists y \in \mathbb{R}\ (y > x)$ 를 증명하고 (증인 $y = x+1$ ), $\exists y \in \mathbb{R}\ \forall x \in \mathbb{R}\ (y > x)$ 가 거짓임을 증명하세요. 결론: 양화사의 순서가 의미를 바꾼다.

\forall x\ \exists y\ (y > x)\ \text{is true},\qquad \exists y\ \forall x\ (y > x)\ \text{is false}

명제

\forall x\,\exists y\,(y > x)

(참), 도전값

x = 2

: 증인

y = 3

3 > 2

성립.

증명 보기

첫 번째 명제를 증명합니다. 임의의 $x \in \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하세요. $y = x + 1$ 이라 두면 $y \in \mathbb{R}$ 이고 $y - x = 1 > 0$ , 즉 $y > x$ 입니다. $x$ 는 임의였으므로 모든 $x$ 에 대해 그런 $y$ 가 존재합니다 — $\forall x\ \exists y\ (y > x)$ 가 참입니다. 씬의 도전값 $x = 2$ 에서는 증인이 $y = 3$ 이고 $3 > 2$ 가 성립합니다.
두 번째 명제를 반증합니다. 어떤 후보 $y_0 \in \mathbb{R}$ 가 주어지든, $x = y_0 + 1$ 이라 두면 $x \in \mathbb{R}$ 이고 $y_0 > x$ 는 $y_0 > y_0 + 1$ , 즉 $0 > 1$ 과 동치라 거짓입니다. 따라서 "모든 $x$ 에 대해 $y_0 > x$ "인 $y_0$ 는 존재하지 않습니다 — $\exists y\ \forall x\ (y > x)$ 는 거짓입니다. 씬에서 후보 $y = 2$ 는 $x' = 3$ 에 무너집니다.
결론: 양화사의 순서가 의미를 완전히 바꿉니다. $\forall x\ \exists y$ 에서는 $y$ 가 $x$ 에 의존해도 되지만 ( $y = x+1$ ), $\exists y\ \forall x$ 에서는 하나의 $y$ 가 모든 $x$ 에 통해야 합니다. $\varepsilon$ - $\delta$ 정의에서 $\delta$ 가 $\varepsilon$ 에 의존해도 되는 이유가 바로 이 순서입니다.

" $f$ 는 $[0,1]$ 에서 유계" — 즉 $\exists M\ \forall x \in [0,1]\ |f(x)| \le M$ — 를 부정하여 $\forall M\ \exists x\ |f(x)| > M$ 을 얻은 뒤, 그 형태를 이용해 $f(x) = 1/x$ 가 $(0,1]$ 에서 유계가 아님을 증명하세요.

\lnot\big(\exists M\ \forall x \in [0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)\ \equiv\ \forall M\ \exists x \in [0,1]\ (|f(x)| > M)

x = \frac{1}{|M|+2} \in (0,1],\qquad f(x) = |M|+2 > M

명제

\exists y\,\forall x\,(y > x)

(거짓), 부정 사슬 표시: 마지막 단계

\forall y\,\exists x\,(y \le x)

— 유계 부정의 양화사 패턴과 같습니다.

증명 보기

유계의 정의를 부정합니다: $\lnot\big(\exists M\ \forall x \in [0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)$ . 부정을 안으로 밀면 $\forall M\ \lnot\big(\forall x \in [0,1]\ (|f(x)| \le M)\big)$ 가 되고, 다시 밀면 $\forall M\ \exists x \in [0,1]\ \lnot(|f(x)| \le M)$ , 즉 $\forall M\ \exists x \in [0,1]\ (|f(x)| > M)$ 입니다. 말로 풀면: "어떤 경계 $M$ 을 제시해도, 그것을 초과하는 점 $x$ 가 존재한다" — 이것이 무계의 정의입니다.
이제 $f(x) = 1/x$ ( $x \in (0,1]$ )에 적용합니다. 임의의 $M \in \mathbb{R}$ 가 주어졌다고 하세요. $x = \frac{1}{|M|+2}$ 라 두면, 분모가 양수이므로 $x > 0$ 이고 $|M|+2 \ge 2$ 이므로 $x \le \frac12 < 1$ — 즉 $x \in (0,1]$ 입니다. 이때 $|f(x)| = f(x) = |M|+2$ 인데, $|M| \ge M$ 이므로 $|M|+2 > M$ 입니다. 따라서 이 $x$ 에서 $|f(x)| > M$ 이 성립합니다.
$M$ 은 임의였으므로, 모든 $M$ 에 대해 $|f(x)| > M$ 인 $x \in (0,1]$ 가 존재합니다 — 곧 $\forall M\ \exists x\ (|f(x)| > M)$ 이 성립하므로 $f$ 는 $(0,1]$ 에서 유계가 아닙니다. 핵심은 양화사 순서입니다: $M$ 이 먼저 주어지면(∀M) 그에 맞는 $x$ 를 나중에(∃x) 골라도 되기 때문에, $M$ 에 의존하는 선택 $x = 1/(|M|+2)$ 가 허용됩니다.