직접증명

두 유리수 r1=p1q1r_1 = \frac{p_1}{q_1}, r2=p2q2r_2 = \frac{p_2}{q_2}의 합을 수직선 위에 표시하고, 가정에서 결론까지 곧바로 이어지는 계산 p1q2+p2q1q1q2\frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}을 따라간다 — 이것이 직접증명이다.

r1+r2=p1q2+p2q1q1q2r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}
34+−56=−112\frac{3}{4} + \frac{-5}{6} = -\frac{1}{12}

예제

두 유리수의 합이 유리수임을 직접증명으로 증명하고, 이 씬의 기본 수 r1=34r_1 = \frac34, r2=−56r_2 = -\frac56에 각 단계를 그대로 대입하여 합이 −112-\frac{1}{12}임을 단계별로 검증하세요.

r1=p1q1, r2=p2q2  ⇒  r1+r2=p1q2+p2q1q1q2r_1 = \frac{p_1}{q_1},\ r_2 = \frac{p_2}{q_2} \;\Rightarrow\; r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}
p1=3p_1 = 3, q1=4q_1 = 4, p2=−5p_2 = -5, q2=6q_2 = 6: 분자 18−20=−218 - 20 = -2, 분모 2424, gcd⁡(2,24)=2\gcd(2, 24) = 2, 약분하면 −112≈−0.083333-\frac{1}{12} \approx -0.083333.
증명 보기
  1. 가정을 받아들입니다: r1,r2r_1, r_2가 유리수이므로 정수 p1,q1,p2,q2p_1, q_1, p_2, q_2 (q1≠0q_1 \ne 0, q2≠0q_2 \ne 0)가 존재하여 r1=p1q1r_1 = \frac{p_1}{q_1}, r2=p2q2r_2 = \frac{p_2}{q_2}입니다. 직접증명은 이 가정을 곧바로 계산으로 연결합니다.
  2. 통분합니다: r1+r2=p1q2q1q2+p2q1q1q2=p1q2+p2q1q1q2r_1 + r_2 = \frac{p_1 q_2}{q_1 q_2} + \frac{p_2 q_1}{q_1 q_2} = \frac{p_1 q_2 + p_2 q_1}{q_1 q_2}. 분자 p1q2+p2q1p_1 q_2 + p_2 q_1은 정수들의 곱과 합의 합이므로 정수이고, 분모 q1q2q_1 q_2는 0이 아닌 정수들의 곱이므로 0이 아닌 정수입니다. 따라서 r1+r2r_1 + r_2는 정수의 비 — 즉 유리수입니다. 이것이 결론에 대한 직접증명입니다. 씬의 수로 확인하면: 3⋅6+(−5)⋅44⋅6=18−2024=−224=−112≈−0.083333\frac{3 \cdot 6 + (-5) \cdot 4}{4 \cdot 6} = \frac{18 - 20}{24} = \frac{-2}{24} = -\frac{1}{12} \approx -0.083333.
    34+−56=−224=−112\frac{3}{4} + \frac{-5}{6} = \frac{-2}{24} = -\frac{1}{12}

두 유리수의 곱이 유리수임을 직접증명으로 증명하세요. 이어서 유리수의 제곱이 유리수임을 증명하고, 씬의 수 r1=34r_1 = \frac34, r2=−56r_2 = -\frac56에 대해 곱이 −58-\frac58임을 검증하세요.

r1r2=p1p2q1q2,r12=p12q12r_1 r_2 = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}, \qquad r_1^2 = \frac{p_1^2}{q_1^2}
p1=3p_1 = 3, q1=4q_1 = 4, p2=−5p_2 = -5, q2=6q_2 = 6: 곱 −1524=−58=−0.625-\frac{15}{24} = -\frac58 = -0.625.
증명 보기
  1. 가정: r1=p1q1r_1 = \frac{p_1}{q_1}, r2=p2q2r_2 = \frac{p_2}{q_2} (정수, q1,q2≠0q_1, q_2 \ne 0). 곱셈하면 r1r2=p1p2q1q2r_1 r_2 = \frac{p_1 p_2}{q_1 q_2}. 분자 p1p2p_1 p_2는 정수이고 분모 q1q2q_1 q_2는 0이 아닌 정수이므로 곱은 유리수입니다. 씬의 수: 3⋅(−5)4⋅6=−1524=−58=−0.625\frac{3 \cdot (-5)}{4 \cdot 6} = \frac{-15}{24} = -\frac58 = -0.625 (분자·분모를 3으로 약분).
  2. 제곱은 곱의 특수한 경우: r=pqr = \frac{p}{q} (q≠0q \ne 0)이면 r2=p2q2r^2 = \frac{p^2}{q^2}이고, p2p^2는 정수, q2q^2는 양의 정수(따라서 ≠0\ne 0)이므로 r2r^2는 유리수입니다. 예: r12=(34)2=916r_1^2 = \left(\frac34\right)^2 = \frac{9}{16}. 두 명제 모두 가정에서 결론으로 곧장 가는 한 번의 계산으로 증명됩니다 — 직접증명의 전형적인 형태입니다.

정수 nn이 홀수이면 n2n^2도 홀수임을 직접증명으로 증명하세요: n=2k+1n = 2k + 1로 쓰고 전개하여 (2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1을 보이세요.

n=2k+1  ⇒  n2=(2k+1)2=4k2+4k+1=2(2k2+2k)+1n = 2k + 1 \;\Rightarrow\; n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1
이 문제는 홀수 nn에 대한 대수 증명에 대한 것입니다 — 프리셋은 씬의 유효한 기본 조합 r1=r2=12r_1 = r_2 = \frac12.
증명 보기
  1. 가정: nn은 홀수입니다. 홀수의 정의에 의해, 어떤 정수 kk가 존재하여 n=2k+1n = 2k + 1입니다. 이제 계산합니다: n2=(2k+1)2=4k2+4k+1n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1.
  2. 짝수 부분을 묶습니다: 4k2+4k+1=2(2k2+2k)+14k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1. 여기서 2k2+2k2k^2 + 2k는 정수이므로, n2n^2는 "2 곱하기 정수, 더하기 1" — 즉 홀수입니다. 가정에서 결론까지 한 번의 전개로 도달했으므로 이것은 직접증명입니다. (주목: 이 보조정리는 다음 씬인 대우법 씬이 정확히 소비하는 것입니다 — "n2n^2이 짝수 ⇒\Rightarrow nn이 짝수"의 증명은 대우인 "nn이 홀수 ⇒\Rightarrow n2n^2이 홀수"로 귀결되며, 그 대우의 증명이 바로 이 직접증명입니다.)

1. 증명의 기초