대우법 | Real Analysis

n^2

이 짝수인 행이 정확히

n

이 짝수인 행과 일치하는

n = 1..12

표 — "

n^2

짝수

\Rightarrow

n

짝수"의 직접증명이 막히는 곳에서, 대우 "

n

홀수

\Rightarrow

n^2

홀수"의 계산

(2k+1)^2 = 2(2k^2+2k)+1

이 열린다.

예제

정수 $n$ 에 대해 " $n^2$ 이 짝수이면 $n$ 도 짝수이다"를 대우법으로 완전히 증명하세요. 대우인 " $n$ 이 홀수이면 $n^2$ 이 홀수이다"를 홀수 제곱 전개로 증명하는 것으로 귀결시키세요.

n^2 \text{ even} \Rightarrow n \text{ even} \quad\Longleftrightarrow\quad n \text{ odd} \Rightarrow n^2 \text{ odd}

n = 7

(홀수):

n = 2 \cdot 3 + 1

n^2 = 49 = 2 \cdot 24 + 1

— 홀수. 대우의 계산이 직접 보인다.

증명 보기

증명하려는 명제는 $P \Rightarrow Q$ ( $P$ : " $n^2$ 이 짝수", $Q$ : " $n$ 이 짝수")입니다. 함의와 그 대우는 논리적으로 동치이므로(둘 다 $P$ 참· $Q$ 거짓일 때만 거짓), 대우 $\lnot Q \Rightarrow \lnot P$ , 즉 " $n$ 이 홀수이면 $n^2$ 이 홀수이다"를 증명합니다.
대우는 직접증명으로 증명됩니다: $n$ 이 홀수이면 어떤 정수 $k$ 에 대해 $n = 2k + 1$ 이고, $n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$ . $2k^2 + 2k$ 는 정수이므로 $n^2$ 은 홀수입니다. 씬에서 확인: $n = 7$ 이면 $k = 3$ , $n^2 = 49 = 2 \cdot (2 \cdot 9 + 6) + 1 = 2 \cdot 24 + 1$ . 이로써 대우가 증명되었고, 동치성에 의해 원래 명제 " $n^2$ 이 짝수이면 $n$ 이 짝수"도 증명됩니다. (직접 시도가 막히는 이유: $n^2 = 2m$ 이라는 가정은 $n$ 에 대한 계산 손잡이를 주지 않습니다 — 대우는 가정을 $n$ 자체의 형태 $2k+1$ 로 바꿔 줍니다.)
$(2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1$

정수 $n$ 에 대해 " $3n + 2$ 가 홀수이면 $n$ 도 홀수이다"를 대우법으로 증명하세요. 먼저 직접 경로가 왜 어색한지 — $3n + 2$ 가 홀수이면 $3n$ 이 홀수라는 것만 얻어지고, $n$ 자체에는 손이 닿지 않음을 — 설명하세요.

3n + 2 \text{ odd} \Rightarrow n \text{ odd} \quad\Longleftrightarrow\quad n \text{ even} \Rightarrow 3n + 2 \text{ even}

n = 8

(짝수):

n = 2 \cdot 4

3n + 2 = 26 = 2(3 \cdot 4 + 1) = 2 \cdot 13

— 짝수. 대우의 방향이 보인다.

증명 보기

직접 경로가 어색한 이유: $3n + 2$ 가 홀수라고 가정하면 $3n = (3n + 2) - 2$ 이므로 $3n$ 은 홀수입니다. 하지만 "3 곱하기 $n$ 이 홀수"에서 " $n$ 이 홀수"로 넘어가려면, $n$ 이 짝수일 수 없다는 별도의 논증이 필요합니다 — $n$ 자체를 계산할 형태가 없습니다. 그래서 대우로 돕니다: " $n$ 이 짝수이면 $3n + 2$ 도 짝수이다".
대우를 직접증명합니다: $n$ 이 짝수이면 $n = 2k$ (정수 $k$ )이고, $3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k + 2 = 2(3k + 1)$ . $3k + 1$ 은 정수이므로 $3n + 2$ 는 짝수입니다. 대우가 증명되었으므로, 동치성에 의해 원래 명제 " $3n + 2$ 가 홀수이면 $n$ 이 홀수"가 증명됩니다. 씬에서 확인: $n = 8 = 2 \cdot 4$ 이면 $3n + 2 = 26 = 2(3 \cdot 4 + 1) = 2 \cdot 13$ , 짝수입니다.

정수 $n$ 에 대해 " $n^2$ 이 3으로 나누어떨어지면 $n$ 도 3으로 나누어떨어진다"를 증명하세요. 대우를 취한 뒤, 3으로 나누어떨어지지 않는 경우를 $n = 3k + 1$ 과 $n = 3k + 2$ 로 나누어 각각 $n^2$ 도 3으로 나누어떨어지지 않음을 보이세요.

n = 3k+1 \Rightarrow n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1, \qquad n = 3k+2 \Rightarrow n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1

n = 9

n^2 = 81 = 3 \cdot 27

— 3으로 나누어떨어지고,

n = 9 = 3 \cdot 3

도 그렇다. 명제 형태 그대로의 확인.

증명 보기

대우를 증명합니다: "3이 $n$ 을 나누지 않으면 3은 $n^2$ 도 나누지 않는다". 나눗셈 정리에 의해, 3이 $n$ 을 나누지 않으면 나머지가 1 또는 2이므로 어떤 정수 $k$ 에 대해 $n = 3k + 1$ 또는 $n = 3k + 2$ 입니다. 두 경우를 각각 계산합니다.
경우 1: $n = 3k + 1$ 이면 $n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ — 3으로 나눈 나머지가 1이므로 3은 $n^2$ 를 나누지 않습니다. 경우 2: $n = 3k + 2$ 이면 $n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ — 역시 나머지가 1이므로 3은 $n^2$ 를 나누지 않습니다. 두 경우 모두 대우의 결론을 주므로 대우가 증명되고, 동치성에 의해 원래 명제가 증명됩니다. 씬에서 확인: $n = 9 = 3 \cdot 3$ 은 3으로 나누어떨어지고 $n^2 = 81 = 3 \cdot 27$ 도 그렇습니다.