ζ(4)와 짝수 거듭제곱

1n4\frac{1}{n^4}의 부분합이 π490\frac{\pi^4}{90}에 빠르게 닿는 모습과, 짝수 거듭제곱마다 ζ\zeta값이 π\pi의 거듭제곱으로 닫히는 패턴을 확인합니다.

∑n=1∞1n4=π490\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}
ζ(2)=π26,ζ(6)=π6945\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\quad \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}

예제

∑k=0∞1(2k+1)4=π496\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4} = \frac{\pi^4}{96}을 ζ(4)\zeta(4)로부터 유도하세요.

∑odd1n4=ζ(4)−116ζ(4)=1516⋅π490=π496\sum_{\mathrm{odd}}\frac{1}{n^4}=\zeta(4)-\frac{1}{16}\zeta(4)=\frac{15}{16}\cdot\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}
짝수 항을 빼면 홀수 항만 남습니다.
증명 보기
  1. 짝수 항: ∑n=1∞1(2n)4=116∑n=1∞1n4=116ζ(4)\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^4} = \frac{1}{16}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{1}{16}\zeta(4)입니다.
  2. 홀수 항 = 전체 − 짝수 항 =ζ(4)−116ζ(4)=1516ζ(4)= \zeta(4)-\frac{1}{16}\zeta(4) = \frac{15}{16}\zeta(4)입니다. (양항급수이므로 재배열이 정당합니다.)
  3. 1516⋅π490=π496\frac{15}{16}\cdot\frac{\pi^4}{90} = \frac{\pi^4}{96}입니다.

꼬리 RN=∑n>N1n4R_N = \sum_{n>N}\frac{1}{n^4}에 대해 RN<13N3R_N < \frac{1}{3N^3}을 적분 비교로 증명하세요.

RN<∫N∞dxx4=13N3R_N < \int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x^4} = \frac{1}{3N^3}
N=8N = 8: 실제 꼬리 ≈0.000539<1/1536≈0.000651\approx 0.000539 < 1/1536 \approx 0.000651.
증명 보기
  1. f(x)=1x4f(x) = \frac{1}{x^4}는 감소함수이므로, n≥2n \ge 2에서 1n4≤∫n−1ndxx4\frac{1}{n^4} \le \int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x^4}입니다.
  2. 따라서 RN≤∑n>N∫n−1ndxx4=∫N∞dxx4=13N3R_N \le \sum_{n>N}\int_{n-1}^{n}\frac{dx}{x^4} = \int_{N}^{\infty}\frac{dx}{x^4} = \frac{1}{3N^3}입니다.
  3. N=8N = 8이면 한계는 11536≈0.000651\frac{1}{1536} \approx 0.000651 — 실제 꼬리 0.0005390.000539와 부합합니다.

ζ(2)=π26\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}, ζ(4)=π490\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}, ζ(6)=π6945\zeta(6)=\frac{\pi^6}{945}를 베르누이 수 공식으로 확인하세요. (공식 자체는 알려진 결과로 둡니다.)

ζ(2n)=(−1)n+1B2n(2π)2n2(2n)!\zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}
짝수 제타값은 모두 π\pi의 거듭제곱 꼴입니다.
증명 보기
  1. 베르누이 수 B2=16B_2 = \frac{1}{6}, B4=−130B_4 = -\frac{1}{30}, B6=142B_6 = \frac{1}{42}를 공식에 대입하면 세 값이 정확히 나옵니다. 예를 들어 n=2n = 2: (−1)3B4(2π)42⋅4!=(1/30)⋅16π448=π490\frac{(-1)^3 B_4 (2\pi)^4}{2\cdot 4!} = \frac{(1/30)\cdot 16\pi^4}{48} = \frac{\pi^4}{90}입니다.
  2. ζ(3)\zeta(3) (아페리 상수)는 이런 꼴이 없습니다 — 짝수만의 패턴입니다.
  3. 공식 자체의 증명은 여기서 다루지 않습니다 — 알려진 결과로 둡니다.

7. 거듭제곱급수