리만 재배열 정리

조건수렴 급수는 재배열로 어떤 실수든 만들 수 있습니다 — 탐욕 블록 규칙이 교대조화급수(원래 합 ln⁡2\ln 2)를 당신이 고른 목표로 몰아넣는 과정을 직접 보세요.

∑an converges conditionally ⟹ ∀ s∈R  ∃ rearrangement with sum s\sum a_n\ \text{converges conditionally}\ \Longrightarrow\ \forall\, s\in\mathbb{R}\ \ \exists\ \text{rearrangement with sum } s

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

실수 항 급수 ∑an\sum a_n이 조건수렴한다고 하자. pn=max⁡(an,0)p_n = \max(a_n, 0), qn=max⁡(−an,0)q_n = \max(-a_n, 0)이라 두면 (0인 항은 무시해도 되므로 양항/음항 부분수열로 다시 번호를 매긴 것과 같다), ∑pn=+∞\sum p_n = +\infty이고 ∑qn=+∞\sum q_n = +\infty임을 증명하세요.

an=pn−qn,∣an∣=pn+qna_n = p_n - q_n, \qquad \lvert a_n \rvert = p_n + q_n
∑pn<∞ ⟹ ∑qn=∑pn−∑an<∞ ⟹ ∑∣an∣<∞(contradiction)\sum p_n < \infty \ \Longrightarrow\ \sum q_n = \sum p_n - \sum a_n < \infty \ \Longrightarrow\ \sum \lvert a_n \rvert < \infty \quad \text{(contradiction)}
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 양항 78개·음항 42개를 썼고, 양쪽 블록이 영원히 반복됩니다 (아래 증명이 그 이유).
증명 보기
  1. 항별로 an=pn−qna_n = p_n - q_n이고 ∣an∣=pn+qn\lvert a_n \rvert = p_n + q_n입니다 (0인 항은 양쪽에 기여하지 않으므로 부분수열로 다시 번호를 매긴 것과 같습니다). 조건수렴 가정은 ∑(pn−qn)\sum (p_n - q_n)이 수렴하고 ∑(pn+qn)\sum (p_n + q_n)이 발산한다는 뜻입니다.
  2. ∑pn<∞\sum p_n < \infty이라고 가정합니다. ∑an=∑(pn−qn)\sum a_n = \sum (p_n - q_n)이 수렴하므로, qn=pn−(pn−qn)q_n = p_n - (p_n - q_n)에서 ∑qn=∑pn−∑an\sum q_n = \sum p_n - \sum a_n은 수렴급수들의 차로 수렴합니다.
  3. 그러면 ∑∣an∣=∑pn+∑qn<∞\sum \lvert a_n \rvert = \sum p_n + \sum q_n < \infty — 즉 ∑an\sum a_n이 절대수렴하게 되어, 조건수렴(절대수렴하지 않음) 가정에 모순입니다. 따라서 ∑pn=+∞\sum p_n = +\infty입니다.
  4. 대칭적으로: ∑qn<∞\sum q_n < \infty이면 pn=qn+(pn−qn)p_n = q_n + (p_n - q_n)에서 ∑pn=∑qn+∑an\sum p_n = \sum q_n + \sum a_n이 수렴하고, 역시 ∑∣an∣<∞\sum \lvert a_n \rvert < \infty가 되어 모순입니다. 따라서 ∑qn=+∞\sum q_n = +\infty입니다. 직관: 조건수렴 급수는 "양의 무한대"와 "음의 무한대"를 둘 다 품고 있어, 재배열이 둘 사이를 오가며 어떤 목표든 맞출 수 있습니다.

이 씬의 탐욕 걸음(greedy walk)으로 목표 s=1s = 1을 노리세요. 처음 몇 개 블록이 끝난 뒤의 부분합 S2,S3,S4,S5,S7,S8S_2, S_3, S_4, S_5, S_7, S_8을 직접 계산하고, 각 overshoot/undershoot이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하임을 확인하세요.

S2=43, S3=56, S4=3130, S5=4760, S7=13071260, S8=10971260S_2 = \tfrac43,\ S_3 = \tfrac56,\ S_4 = \tfrac{31}{30},\ S_5 = \tfrac{47}{60},\ S_7 = \tfrac{1307}{1260},\ S_8 = \tfrac{1097}{1260}
gaps: 13, 16, 130, 1360, 471260, 1631260 ≤ crossing term each time\text{gaps: }\tfrac13,\ \tfrac16,\ \tfrac1{30},\ \tfrac{13}{60},\ \tfrac{47}{1260},\ \tfrac{163}{1260}\ \le\ \text{crossing term each time}
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: 경계 간격이 13→16→130→1360→471260→1631260\frac13 \to \frac16 \to \frac1{30} \to \frac{13}{60} \to \frac{47}{1260} \to \frac{163}{1260}으로 조여들며 S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326.
증명 보기
  1. 규칙은 t≤st \le s이면 다음 양항, t>st > s이면 다음 음항을 취하는 것입니다. s=1s = 1에서 t0=0t_0 = 0이므로 첫 항은 양항: S1=0+p1=1S_1 = 0 + p_1 = 1 — 걸음이 목표에 정확히 착지합니다 (간격 0).
  2. S1=1≤1S_1 = 1 \le 1이므로 양항을 한 번 더: S2=1+p2=1+13=43S_2 = 1 + p_2 = 1 + \frac13 = \frac43 — 첫 양항 블록이 끝나고 overshoot은 13=p2\frac13 = p_2입니다 (걸음이 ss 위에 정확히 서 있는 상태에서 위로 넘으면 등호가 성립; 아래 보조정리 참조). 이어서 S3=43−q1=43−12=56S_3 = \frac43 - q_1 = \frac43 - \frac12 = \frac56 — 첫 음항 블록, undershoot 16<q1=12\frac16 < q_1 = \frac12.
  3. 계속합니다: S4=56+p3=56+15=3130S_4 = \frac56 + p_3 = \frac56 + \frac15 = \frac{31}{30} (overshoot 130<p3=15\frac1{30} < p_3 = \frac15), S5=3130−q2=3130−14=4760S_5 = \frac{31}{30} - q_2 = \frac{31}{30} - \frac14 = \frac{47}{60} (undershoot 1360<q2=14\frac{13}{60} < q_2 = \frac14). 다음 양항 블록은 두 항을 씁니다: S6=4760+p4=389420<1S_6 = \frac{47}{60} + p_4 = \frac{389}{420} < 1 (아직 경계를 못 넘음), S7=389420+p5=13071260S_7 = \frac{389}{420} + p_5 = \frac{1307}{1260} (overshoot 471260<p5=19\frac{47}{1260} < p_5 = \frac19). 그리고 S8=13071260−q3=10971260S_8 = \frac{1307}{1260} - q_3 = \frac{1097}{1260} (undershoot 1631260<q3=16\frac{163}{1260} < q_3 = \frac16).
  4. 모든 값이 모델 계산과 일치합니다 (테스트에서 유리수 그대로 검증). 간격 수열 13,16,130,1360,471260,1631260\frac13, \frac16, \frac1{30}, \frac{13}{60}, \frac{47}{1260}, \frac{163}{1260}은 단조가 아니지만, 각 간격이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하이며 항의 크기는 00으로 갑니다. 120개 항 뒤에는 S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 걸음이 목표를 향해 조여들고 있습니다.

탐욕 재배열이 목표 ss로 수렴함을 증명하세요: 양쪽 블록이 영원히 반복되고, 매번 경계를 넘을 때의 overshoot/undershoot이 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하이며, 항의 크기가 00으로 가므로 ∣SN−s∣→0\lvert S_N - s \rvert \to 0입니다.

t≤s⇒S−s≤p(crossing up),t>s⇒s−S<q(crossing down)t \le s \Rightarrow S - s \le p \quad (\text{crossing up}), \qquad t > s \Rightarrow s - S < q \quad (\text{crossing down})
∣SN−s∣≤max⁡(qlast,pcross)  →N→∞  0\lvert S_N - s \rvert \le \max(q_{\text{last}}, p_{\text{cross}}) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; 0
목표 s=1s = 1, N=120N = 120: S120≈0.9967S_{120} \approx 0.9967, 오차 ≈0.00326\approx 0.00326 — 항 크기가 00으로 가면서 걸음의 진폭도 함께 사라집니다.
증명 보기
  1. 교대조화급수 ∑(−1)n+1n\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}은 조건수렴합니다 (Leibniz 판정법으로 수렴, ∑1n\sum \frac1n 발산으로 절대수렴 실패). 양항 pk=12k−1p_k = \frac{1}{2k-1}과 음항 크기 qk=12kq_k = \frac{1}{2k}에 대해 ∑pk=∑qk=+∞\sum p_k = \sum q_k = +\infty입니다 (앞 문제의 따름정리, 또는 12k−1≥12k\frac{1}{2k-1} \ge \frac{1}{2k}와 조화급수 비교로 직접 확인).
  2. 양쪽 블록이 영원히 반복됩니다. 양항이 유한 번만 쓰였다고 가정하면, 어느 시점부터는 음항만 취하므로 부분합은 매번 qjq_j씩 감소하고 ∑qj=∞\sum q_j = \infty이니 t→−∞t \to -\infty — 결국 t≤st \le s가 되어 규칙이 양항을 취하게 되므로 모순입니다. 음항에 대해서도 대칭적으로 (그렇지 않으면 t→+∞t \to +\infty가 되어 음항을 취하게 됨) 양쪽 블록이 무한히 반복됩니다. 각 블록은 아직 쓰지 않은 다음 항부터 차례로 쓰므로, 결국 모든 pip_i와 모든 qjq_j가 정확히 한 번씩 쓰입니다 — 즉 진짜 재배열입니다.
  3. 경계 넘기 보조정리: t≤st \le s에서 pp를 더해 위로 넘으면 새 간격은 (t+p)−s=p−(s−t)≤p(t + p) - s = p - (s - t) \le p (등호는 t=st = s일 때만). t>st > s에서 qq를 빼 아래로 넘으면 새 간격은 s−(t−q)=q−(t−s)<qs - (t - q) = q - (t - s) < q. 따라서 매번의 overshoot/undershoot은 그 경계를 넘게 한 항의 크기 이하입니다.
  4. 이제 양항 블록 하나를 봅니다 (첫 번째 경계 넘기 이후의 블록; 처음 몇 항은 유한하므로 수렴에 영향 없음). undershoot 간격 ε\varepsilon (보조정리로 ε≤qlast\varepsilon \le q_{\text{last}}, 마지막으로 쓴 음항 크기)에서 시작해 블록이 단조증가하므로, 경계를 넘기 전에는 s−S≤εs - S \le \varepsilon, 경계를 넘은 단계에서는 S−s≤pcrossS - s \le p_{\text{cross}}입니다. 즉 블록 전체에서 ∣SN−s∣≤max⁡(qlast,pcross)\lvert S_N - s \rvert \le \max(q_{\text{last}}, p_{\text{cross}})입니다.
  5. 블록이 영원히 반복되므로 (2단계) 양항·음항 번호는 둘 다 ∞\infty로 가고, qlast→0q_{\text{last}} \to 0이며 pcross→0p_{\text{cross}} \to 0입니다 (경계를 넘긴 양항들은 pip_i의 부분수열). 따라서 ∣SN−s∣→0\lvert S_N - s \rvert \to 0, 즉 SN→sS_N \to s입니다. 음항 블록도 대칭적입니다. 이것은 유한한 ss에 대한 리만 재배열 정리의 탐욕 증명입니다 (±∞\pm\infty도 같은 기계로, 목표를 무한히 키우며 도달합니다).

7. 거듭제곱급수