아벨 정리

부분합 $S_n = a_0 + \cdots + a_n$ 이 $S$ 로 수렴하면 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = S$ 임을 부분합산(summation by parts)으로 증명하세요.

\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = S_N x^{N+1} + (1-x)\sum_{n=0}^{N} S_n x^n

\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n - S = (1-x)\sum_{n=0}^{\infty}(S_n - S)x^n

수렴급수 예시

x=0.9

:

S_{40}(0.9) \approx 0.6420

, 닫힌식

\ln(1.9) \approx 0.6419

— Abel 합은 보통 합

\ln 2

와 같은 방향을 가리킵니다.

증명 보기

$S_{-1} := 0$ 이라 두면 $a_n = S_n - S_{n-1}$ 입니다. $\sum_{n=0}^{N} (S_n - S_{n-1})x^n = \sum_{n=0}^{N} S_n x^n - x\sum_{n=0}^{N-1} S_n x^n$ 이므로, 정리하면 $\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = S_N x^{N+1} + (1-x)\sum_{n=0}^{N} S_n x^n$ — Abel 변환(부분합산) 공식입니다.
고정된 $|x| < 1$ 에 대해 $N \to \infty$ 으로 보내면 경계항 $S_N x^{N+1} \to 0$ 입니다 ( $S_N$ 은 수렴하므로 유계, $x^{N+1} \to 0$ ). 따라서 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1-x)\sum_{n=0}^{\infty} S_n x^n$ — 우변은 $S_n$ 이 유계이므로 절대수렴합니다.
$(1-x)\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1$ 이므로 $\sum a_n x^n - S = (1-x)\sum_{n=0}^{\infty}(S_n - S)x^n$ 입니다. $\varepsilon > 0$ 에 대해 $n > N_0$ 이면 $|S_n - S| < \varepsilon/2$ 인 $N_0$ 을 잡고 합을 $n \le N_0$ 과 $n > N_0$ 으로 나눕니다.
꼬리: $\left|(1-x)\sum_{n>N_0}(S_n - S)x^n\right| \le (1-x)\frac{\varepsilon}{2}\sum_{n>N_0}x^n = \frac{\varepsilon}{2}x^{N_0+1} \le \frac{\varepsilon}{2}$ ( $0 \le x < 1$ ).
앞부분: $\left|(1-x)\sum_{n=0}^{N_0}(S_n - S)x^n\right| \le (1-x)\sum_{n=0}^{N_0}|S_n - S| = (1-x)M$ ( $x^n \le 1$ ). $M$ 은 고정된 상수이므로 $x \to 1^{-}$ 에서 $0$ 으로 갑니다. $x$ 가 $1$ 에 충분히 가까우면 합이 $\varepsilon$ 보다 작아집니다. 따라서 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum a_n x^n = S$ . ∎

그란디 급수 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 의 Abel 합이 $\frac{1}{2}$ 임을 증명하세요. 급수 자체는 발산한다는 점을 분명히 하세요.

\sum_{n=0}^{N}(-x)^n = \frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x} \xrightarrow[N\to\infty]{} \frac{1}{1+x} \quad (|x|<1)

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{1}{1+x} = \frac{1}{2}

x=0.99

,

N=100

:

S_{100}(0.99) \approx 0.6846

, 닫힌식

1/1.99 \approx 0.5025

—

N

을 늘리고

x \to 1^{-}

로 보내면

1/2

로 다가갑니다.

증명 보기

먼저 정직하게: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n$ 은 발산합니다. 부분합 $S_k = 1$ ( $k$ 짝수), $0$ ( $k$ 홀수)이 영원히 오가며 극한이 없습니다 (그란디 장면). 지금 구하는 것은 급수의 "합"이 아니라 Abel 합입니다.
$|x| < 1$ 에서 기하급수 공식으로 $\sum_{n=0}^{N} (-x)^n = \frac{1-(-x)^{N+1}}{1+x}$ 입니다. 예: $x = 0.9$ , $N = 20$ 이면 $S_{20}(0.9) = \frac{1-(-0.9)^{21}}{1.9} \approx 0.5839$ , 오차는 정확히 $\frac{|(-0.9)^{21}|}{1.9} \approx 0.0576$ 입니다.
$|x| < 1$ 이면 $(-x)^{N+1} \to 0$ 이므로 $N \to \infty$ 에서 $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1+x}$ 입니다. $x = 0.9$ 에서는 $1/1.9 \approx 0.5263$ — 이 값이 위 $S_{20}$ 의 진짜 타깃입니다.
이제 $x \to 1^{-}$ : $\frac{1}{1+x} \to \frac{1}{2}$ . 따라서 Abel 합 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{2}$ 입니다. 체사로 합 $\frac{1}{2}$ 와 같은 값이지만, 어느 쪽도 발산급수의 "합"은 아닙니다. ∎

Abel 정리를 교대조화급수 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = \ln 2$ 에 적용하여 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \ln 2$ 를 증명하세요.

\sum_{n=0}^{N}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \ln(1+x) - R_N(x), \qquad |R_N(x)| \le \frac{x^{N+2}}{N+2}

\lim_{x\to 1^{-}}\ln(1+x) = \ln 2 \approx 0.6931

x=0.99

,

N=100

:

S_{100}(0.99) \approx 0.6899

, 닫힌식

\ln(1.99) \approx 0.6881

—

x \to 1^{-}

에서

\ln 2 \approx 0.6931

로.

증명 보기

$a_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ 이라 두면 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 은 라이프니츠 판정법(교대, $\frac{1}{n+1} \searrow 0$ )으로 수렴하고, 그 값은 $\ln 2 \approx 0.6931$ 입니다 (수치 확인: $N = 100000$ 에서 부분합 $\approx 0.69315218$ , 오차 $\approx 5.0 \times 10^{-6}$ ).
Abel 정리(문제 1)를 적용하면 $\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = \ln 2$ 입니다. 그런데 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = x \cdot \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 이고 $x \to 1$ 이므로, 구하는 극한은 $1 \cdot \ln 2 = \ln 2$ 입니다.
직접 확인도 됩니다: $|t| < 1$ 에서 $\sum_{n=0}^{N} (-t)^n = \frac{1-(-t)^{N+1}}{1+t}$ 를 $0$ 부터 $x$ 까지 적분하면 $\sum_{n=0}^{N} \frac{(-1)^n x^{n+1}}{n+1} = \ln(1+x) - R_N(x)$ 이며 $|R_N(x)| \le \int_0^x t^{N+1}\,dt = \frac{x^{N+2}}{N+2} \to 0$ ( $N \to \infty$ ). 따라서 멱급수의 합은 정확히 $\ln(1+x)$ 입니다.
$\ln(1+x) \to \ln 2$ ( $x \to 1^{-}$ )이므로 극한은 $\ln 2 \approx 0.6931$ — Abel 정리가 예측한 값과 일치합니다. 수렴급수에서는 Abel 합이 보통 합을 거스르지 않음을 보여주는 예입니다. ∎

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예제