7. 거듭제곱급수

수렴반경 안의 세계 — 아벨 정리와 타우버 정리, 급수의 재배열과 코시 곱을 다룹니다.

• 멱급수와 수렴반경 — 멱급수 $\sum a_n x^n$은 반경 $R$ 안에서는 절대 수렴하고 밖에서는 발산합니다 — 세 가지 전형적인 급수로 수렴반경을 확인하고, 경계 $\lvert x\rvert = R$은 점마다 따로 판정합니다.
• Hadamard 간극 정리 — $S_N(z) = \sum_{k=0}^{N} z^{2^k}$ (간극비 정확히 2): $r \in \{0.90, 0.95, 0.99\}$에 대해 $|S_N(r e^{i\theta})|$를 그리면 $N$이 커질수록 봉우리가 점점 더 많은 각도에서 솟아오릅니다 — 수렴반경이 정확히 1인 간극 급수는 단위원 위의 모든 점에서 특이점이 됩니다. 간극 없는 대조군 $\sum z^k/(k+1)^2$는 얌전합니다.
• 아벨 정리 — 수렴급수 $\sum a_n \to S$에 대해 멱급수 $\sum a_n x^n$은 $x \to 1^{-}$에서 $S$로 다가갑니다 — 아벨 정리. 발산하는 그란디 급수도 이 한계에서는 $\frac{1}{2}$를 가리키지만, 그것은 급수의 "합"이 아니라 Abel 합입니다.
• 타우버 정리 — Abel 합 $\frac{1}{2}$을 갖는 그란디 급수는 발산합니다 — $|n\,a_n| = n$이라 가설 $a_n = o(1/n)$이 깨지기 때문입니다. $d_n = \frac{(-1)^n}{(n+1)\ln(n+2)}$은 가설을 만족하고, 그 Abel 합 곡선은 보통 합에 닿습니다 — 타우버 정리.
• e로 가는 두 길 — 복리 $(1+\frac{1}{n})^n$과 급수 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$가 $e$에 다가가는 속도를 견주어 확인합니다. 팩토리얼 급수가 압도적으로 빠릅니다.
• ζ(4)와 짝수 거듭제곱 — $\frac{1}{n^4}$의 부분합이 $\frac{\pi^4}{90}$에 빠르게 닿는 모습과, 짝수 거듭제곱마다 $\zeta$값이 $\pi$의 거듭제곱으로 닫히는 패턴을 확인합니다.
• 재배열 정리 — 조건수렴 급수는 순서를 바꾸면 합이 바뀝니다 — $\ln 2 \approx 0.6931$이 $\frac{3}{2}\ln 2 \approx 1.0397$로. 라이프니츠 장면의 짝꿍입니다.
• 절대수렴 정리 — 절댓값을 씌운 급수가 수렴하면 원래 급수도 수렴합니다 — 두 부분합 곡선 $S_n$과 $T_n$이 함께 안착하는 모습과, 조화급수처럼 절댓값은 발산해도 부호 덕분에 수렴하는 경우를 견주어 확인합니다.
• 리만 재배열 정리 — 조건수렴 급수는 재배열로 어떤 실수든 만들 수 있습니다 — 탐욕 블록 규칙이 교대조화급수(원래 합 $\ln 2$)를 당신이 고른 목표로 몰아넣는 과정을 직접 보세요.
• 코시 곱 — $(\sum a_n)(\sum b_n) = \sum c_n$, $c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$ — 대각선으로 격자를 휩쓰는 합. 메르텐스 정리(한쪽이 절대수렴하면 곱이 성립)와, 둘 다 조건수렴일 때 깨지는 반례를 봅니다.