군과 체

군은 되돌릴 수 있는 움직임(결합·항등원·역원), 체는 사칙연산이 되는 세계입니다. 부분군 판정법과 (Z,+)(\mathbb{Z},+) vs (Q,+,×)(\mathbb{Q},+,\times)의 차이를 봅니다.

(a+b)+c=a+(b+c),  ∃ 0,  ∀a ∃(−a)(a+b)+c = a+(b+c),\ \ \exists\,0,\ \ \forall a\,\exists(-a)
a(b+c)=ab+ac,2Z≤Z,  Q≤Ra(b+c) = ab+ac,\qquad 2\mathbb{Z} \le \mathbb{Z},\ \ \mathbb{Q} \le \mathbb{R}

예제

(Z,+)(\mathbb{Z}, +)가 군임을 세 공리로 확인하세요.

0∈Z,a+(−a)=00 \in \mathbb{Z},\qquad a + (-a) = 0
(Z5,×)(\mathbb{Z}_5, \times) 표 — 덧셈군 (Z,+)(\mathbb{Z},+)도 같은 세 공리를 만족합니다.
증명 보기
  1. 닫힘: 두 정수의 합은 정수입니다. 결합법칙은 정수의 덧셈이 이미 만족하므로 그대로 이어받습니다.
  2. 항등원은 0∈Z0 \in \mathbb{Z}이며 a+0=aa + 0 = a입니다. aa의 역원은 −a∈Z-a \in \mathbb{Z}이며 a+(−a)=0a + (-a) = 0을 만족합니다.

(Z,×)(\mathbb{Z}, \times)가 군이 아님을 증명하세요.

2x=1⇒x=12∉Z2x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}
(Z6,×)(\mathbb{Z}_6, \times) 표 — 22의 역원이 없습니다.
증명 보기
  1. 곱셈에 대한 항등원은 11이어야 합니다 (1⋅a=a1 \cdot a = a이므로).
  2. 22의 역원이 존재하려면 2x=12x = 1인 x∈Zx \in \mathbb{Z}가 있어야 하지만, x=12∉Zx = \frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}이므로 역원 공리가 깨집니다. 따라서 (Z,×)(\mathbb{Z}, \times)는 군이 아닙니다.

모든 체에서 a⋅0=0a \cdot 0 = 0임을 공리로부터 증명하세요.

a⋅0=a⋅(0+0)=a⋅0+a⋅0a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0
덧셈군의 소거법칙이 핵심입니다.
증명 보기
  1. 분배법칙에 의해 a⋅0=a⋅(0+0)=a⋅0+a⋅0a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0입니다.
  2. 양변에 −(a⋅0)-(a \cdot 0)을 더하면 (덧셈에 대한 역원이 존재하므로) 0=a⋅00 = a \cdot 0을 얻습니다.

1. 수의 체계