한 점 {x0}\{x_0\}{x0}의 측도가 0임을 덮개로 증명하세요. m({x0})≤ε∀ ε>0m(\{x_0\}) \le \varepsilon \quad \forall\,\varepsilon > 0m({x0})≤ε∀ε>0 K=1K = 1K=1: 첫 유리수 000을 길이 0.050.050.05 덮개로 덮습니다. 증명 보기 임의의 ε>0\varepsilon > 0ε>0에 대해 구간 (x0−ε/2, x0+ε/2)(x_0 - \varepsilon/2,\, x_0 + \varepsilon/2)(x0−ε/2,x0+ε/2)는 {x0}\{x_0\}{x0}를 덮고 길이는 ε\varepsilonε입니다. 따라서 외측도는 ε\varepsilonε 이하이고, ε\varepsilonε이 임의이므로 측도는 000입니다.
m(Q∩[0,1])=0m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) = 0m(Q∩[0,1])=0을 ε/2k\varepsilon/2^kε/2k 덮개로 증명하세요. ∑k=1∞ε2k=ε\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^k} = \varepsilonk=1∑∞2kε=ε ε=0.05\varepsilon = 0.05ε=0.05, K=32K = 32K=32: 총길이 ≈0.05\approx 0.05≈0.05로 유리수 32개를 덮습니다. 증명 보기 유리수는 가산집합이므로 [0,1][0,1][0,1]의 유리수를 r1,r2,…r_1, r_2, \dotsr1,r2,…로 나열합니다. rkr_krk를 길이 ε/2k\varepsilon/2^kε/2k인 구간으로 덮으면 전체 덮개의 총길이는 ∑k=1∞ε/2k=ε\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon/2^k = \varepsilon∑k=1∞ε/2k=ε입니다. ε>0\varepsilon > 0ε>0이 임의이므로 외측도는 000이고, 따라서 측도도 000입니다.
디리클레 함수의 르벡 적분은 0임을 (짧게) 증명하고, 리만 적분과 대비하세요. ∫[0,1]D=1⋅m(Q∩[0,1])+0=0\int_{[0,1]} D = 1\cdot m(\mathbb{Q}\cap[0,1]) + 0 = 0∫[0,1]D=1⋅m(Q∩[0,1])+0=0 D=1D = 1D=1인 집합(유리수)은 측도 0 — 나머지는 D=0D = 0D=0입니다. 증명 보기 D=1D = 1D=1인 집합은 Q∩[0,1]\mathbb{Q}\cap[0,1]Q∩[0,1]로 측도가 000이고, 나머지는 D=0D = 0D=0입니다. 따라서 르벡 적분은 1⋅0+0⋅1=01 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 01⋅0+0⋅1=0입니다. 반면 리만은 모든 분할에서 U=1U = 1U=1, L=0L = 0L=0으로 꼼짝 못 합니다 — 르벡은 "값이 얼마나 자주 나오는지"를 셉니다.