조르당 분해

유계변동 함수는 두 단조증가 함수의 차입니다 — f=g−hf = g - h, 여기서 g(x)=V0x(f)g(x) = V_0^x(f)는 변동함수. x2sin⁡1xx^2\sin\frac{1}{x} 위에서 점을 움직이며 분해가 점마다 성립하는 것을 확인하세요.

f=g−h,g(x)=Vax(f),  h=g−ff = g - h, \quad g(x) = V_a^x(f), \; h = g - f
f(x)=x2sin⁡1x (x>0),  f(0)=0f(x) = x^2\sin\frac{1}{x}\ (x > 0), \; f(0) = 0

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

ff가 [a,b][a, b]에서 유계변동이라고 가정하세요. g(x)=Vax(f)g(x) = V_a^x(f)와 h(x)=g(x)−f(x)h(x) = g(x) - f(x)로 두면 gg와 hh가 모두 단조증가이므로 f=g−hf = g - h가 성립함을 증명하세요 (조르당 분해의 한 방향).

Vax2(f)=Vax1(f)+Vx1x2(f)(a≤x1<x2≤b)V_a^{x_2}(f) = V_a^{x_1}(f) + V_{x_1}^{x_2}(f) \qquad (a \le x_1 < x_2 \le b)
h(x2)−h(x1)=Vx1x2(f)−(f(x2)−f(x1))≥0h(x_2) - h(x_1) = V_{x_1}^{x_2}(f) - \bigl(f(x_2) - f(x_1)\bigr) \ge 0
x0=0.7x_0 = 0.7: 위 그래프에서 f=0.4851f = 0.4851, g=0.6776g = 0.6776, h=0.1926h = 0.1926 — gg와 hh는 둘 다 오른쪽으로 갈수록 올라가고, 그 차이가 정확히 ff입니다.
증명 보기
  1. 먼저 변동량(variation)의 가산성(additivity)을 증명합니다. a≤x1<x2≤ba \le x_1 < x_2 \le b일 때 Vax2(f)=Vax1(f)+Vx1x2(f)V_a^{x_2}(f) = V_a^{x_1}(f) + V_{x_1}^{x_2}(f)입니다. 부등식 ≤\le는 다음과 같습니다: [a,x2][a, x_2]의 임의의 분할 PP에 x1x_1이 없으면 추가해도 분할합이 줄어들지 않습니다 (∣f(v)−f(u)∣≤∣f(x1)−f(u)∣+∣f(v)−f(x1)∣\lvert f(v) - f(u)\rvert \le \lvert f(x_1) - f(u)\rvert + \lvert f(v) - f(x_1)\rvert 이므로). x1x_1을 포함한 분할의 분할합은 [a,x1][a, x_1]과 [x1,x2][x_1, x_2]에서의 합으로 갈라지며, 각각은 해당 구간의 변동량 이하이므로, PP에 대한 상한을 취하면 ≤\le를 얻습니다.
  2. 역부등식 ≥\ge: [a,x1][a, x_1]의 분할 P1P_1과 [x1,x2][x_1, x_2]의 분할 P2P_2를 이어 붙이면 [a,x2][a, x_2]의 분할 P1∪P2P_1 \cup P_2가 되고, 그 분할합은 두 구간의 분할합의 합과 같습니다. 각 구간에서 상한을 취하면 ≥\ge를 얻습니다. ff가 유계변동이므로 모든 상한이 유한합니다.
  3. 이제 g(x)=Vax(f)g(x) = V_a^x(f)는 단조증가입니다: x1<x2x_1 < x_2이면 가산성에 의해 g(x2)=g(x1)+Vx1x2(f)≥g(x1)g(x_2) = g(x_1) + V_{x_1}^{x_2}(f) \ge g(x_1) (변동량은 음이 아닙니다). 그리고 h(x2)−h(x1)=(g(x2)−g(x1))−(f(x2)−f(x1))=Vx1x2(f)−(f(x2)−f(x1))h(x_2) - h(x_1) = (g(x_2) - g(x_1)) - (f(x_2) - f(x_1)) = V_{x_1}^{x_2}(f) - (f(x_2) - f(x_1))인데, 분할 {x1,x2}\{x_1, x_2\} 하나만 봐도 Vx1x2(f)≥∣f(x2)−f(x1)∣≥f(x2)−f(x1)V_{x_1}^{x_2}(f) \ge \lvert f(x_2) - f(x_1)\rvert \ge f(x_2) - f(x_1)이므로 h(x2)−h(x1)≥0h(x_2) - h(x_1) \ge 0 — hh도 단조증가입니다. f=g−hf = g - h는 hh의 정의 그 자체입니다.

역방향을 증명하세요: g,hg, h가 [a,b][a, b]에서 단조증가이고 f=g−hf = g - h이면, ff는 유계변동이고 Vab(f)≤(g(b)−g(a))+(h(b)−h(a))V_a^b(f) \le (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a))입니다.

∣f(xi)−f(xi−1)∣≤(g(xi)−g(xi−1))+(h(xi)−h(xi−1))\lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert \le (g(x_i) - g(x_{i-1})) + (h(x_i) - h(x_{i-1}))
Vab(f)≤(g(b)−g(a))+(h(b)−h(a))V_a^b(f) \le (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a))
x0=0.7x_0 = 0.7: gg는 00에서 0.67760.6776까지, hh는 00에서 0.19260.1926까지 올라갑니다 — 그 합 0.87020.8702가 [0,0.7][0, 0.7]에서의 ff의 변동량 0.67760.6776의 상한이 됩니다 (아래 증명의 부등식 그대로).
증명 보기
  1. [a,b][a, b]의 임의의 분할 a=x0<x1<⋯<xn=ba = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b를 잡습니다. 각 조각에서 ∣f(xi)−f(xi−1)∣=∣(g(xi)−g(xi−1))−(h(xi)−h(xi−1))∣≤∣g(xi)−g(xi−1)∣+∣h(xi)−h(xi−1)∣\lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert = \lvert (g(x_i) - g(x_{i-1})) - (h(x_i) - h(x_{i-1}))\rvert \le \lvert g(x_i) - g(x_{i-1})\rvert + \lvert h(x_i) - h(x_{i-1})\rvert (삼각부등식). gg와 hh가 단조증가이므로 각 차분은 음이 아니어서 절댓값이 그대로 빠집니다.
  2. i=1,…,ni = 1, \dots, n에 대해 합하면 ∑i=1n∣f(xi)−f(xi−1)∣≤∑i=1n(g(xi)−g(xi−1))+∑i=1n(h(xi)−h(xi−1))\sum_{i=1}^{n} \lvert f(x_i) - f(x_{i-1})\rvert \le \sum_{i=1}^{n}(g(x_i) - g(x_{i-1})) + \sum_{i=1}^{n}(h(x_i) - h(x_{i-1}))인데, 두 합은 각각 텔레스코핑되어 (g(b)−g(a))+(h(b)−h(a))(g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a))가 됩니다. 이 상한은 분할에 무관하므로 모든 분할에 대한 상한을 취하면 Vab(f)≤(g(b)−g(a))+(h(b)−h(a))<∞V_a^b(f) \le (g(b) - g(a)) + (h(b) - h(a)) < \infty — ff는 유계변동입니다.

조르당 분해는 결코 유일하지 않음을 증명하세요: f=g−hf = g - h (g,hg, h 단조증가)이면, 임의의 단조증가 함수 uu에 대해 f=(g+u)−(h+u)f = (g + u) - (h + u)도 또 하나의 분해가 됩니다.

f=g−h=(g+u)−(h+u),u increasingf = g - h = (g + u) - (h + u), \qquad u\ \text{increasing}
x0=0.7x_0 = 0.7: 그래프의 gg와 hh에 똑같은 단조증가 함수 uu (예를 들어 u(x)=xu(x) = x)를 더해도 곡선은 둘 다 위로 같은 만큼 올라가고, 차이는 그대로 ff — 분해는 무수히 많습니다.
증명 보기
  1. 단조증가 함수의 합은 단조증가입니다: x1<x2x_1 < x_2이면 g(x1)≤g(x2)g(x_1) \le g(x_2)이고 u(x1)≤u(x2)u(x_1) \le u(x_2)이므로 (g+u)(x1)≤(g+u)(x2)(g+u)(x_1) \le (g+u)(x_2) — h+uh + u도 마찬가지입니다.
  2. 그러면 (g+u)−(h+u)=g−h=f(g + u) - (h + u) = g - h = f — uu가 소거됩니다. u(x)=xu(x) = x, u(x)=x2u(x) = x^2, u(x)=2u(x) = 2 (상수) 등 단조증가 함수는 무수히 많으므로, 조르당 분해도 무수히 많습니다. 유일성을 얻으려면 정규화 조건(예: g(a)=0g(a) = 0 같은)이 추가로 필요합니다.

10. 적분