디리클레 함수 | Real Analysis

\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}

는

[0, 1]

위에서 유리수면 1, 무리수면 0 — 모든 부분구간에 유리수와 무리수가 둘 다 들어 있어서 위합은 항상 1, 아래합은 항상 0입니다. 분할을 잘게 쪼개도 틈이 닫히지 않는, 리만 적분 불가능의 대표 반례입니다.

예제

$f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 를 $[0, 1]$ 위의 디리클레 함수라 하세요. $[0, 1]$ 의 모든 부분구간이 유리수를 포함함을 이용해, 임의의 분할 $P$ 에 대해 $U(f, P) = 1$ 임을 완전히 증명하세요.

U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i = 1 \quad \forall P

n = 8

: 8개의 부분구간 모두에 위쪽 직사각형(연한 빨강, 높이 1)이 그려집니다 —

U(f, P_8) = 8 \cdot \frac18 = 1

증명 보기

먼저 유리수의 조밀성을 보입니다: $u < v$ 이면 $(u, v)$ 안에 유리수가 있습니다. $N \in \mathbb{N}$ 을 $\frac1N < v - u$ 가 되게 잡고 (아르키메데스 성질), $m = \lfloor Nu \rfloor + 1$ 이라 두면, $\frac{m}{N} - u = \frac{\lfloor Nu \rfloor + 1 - Nu}{N} \le \frac1N < v - u$ 이므로 $u < \frac{m}{N} < v$ 입니다.
분할 $P = \{x_0 < x_1 < \cdots < x_n\}$ 를 잡습니다. 각 부분구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 는 위에서 유리수 $r_i$ 를 포함하므로, $M_i = \sup_{[x_{i-1}, x_i]} f \ge f(r_i) = 1$ 입니다. 그런데 $f \le 1$ 이 항상 성립하므로 $M_i = 1$ 입니다.
따라서 $U(f, P) = \sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i = \sum_{i=1}^{n} 1 \cdot (x_i - x_{i-1}) = x_n - x_0 = 1$ 입니다. 분할을 어떻게 잡아도 위합은 항상 $1$ — 빨간 점(유리수)이 모든 구간에 박혀 있기 때문입니다.

$[0, 1]$ 의 모든 부분구간이 무리수를 포함함을 이용해, 임의의 분할 $P$ 에 대해 $L(f, P) = 0$ 임을 완전히 증명하세요.

L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} m_i\,\Delta x_i = 0 \quad \forall P

n = 8

: 아래쪽 막대(파랑)는 높이 0의 얇은 선으로만 그려집니다 —

L(f, P_8) = 8 \cdot 0 = 0

증명 보기

무리수도 조밀합니다: $u < v$ 이면 $(u, v)$ 안에 무리수가 있습니다. 유리수의 조밀성에 의해 $(u - \sqrt{2},\, v - \sqrt{2})$ 안에 유리수 $q$ 가 있고, 그러면 $q + \sqrt{2}$ 는 $(u, v)$ 안의 무리수입니다 ( $\sqrt{2}$ 가 무리수이므로, 유리수 $+$ 무리수는 무리수).
분할 $P = \{x_0 < \cdots < x_n\}$ 에 대해, 각 부분구간 $[x_{i-1}, x_i]$ 는 무리수 $s_i$ 를 포함하므로 $m_i = \inf_{[x_{i-1}, x_i]} f \le f(s_i) = 0$ 입니다. $f \ge 0$ 이므로 $m_i = 0$ 입니다.
따라서 $L(f, P) = \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_i = 0$ 입니다. 위 문제와 합치면 $U(f, P) - L(f, P) = 1$ 이 모든 분할에서 성립 — 틈이 절대 닫히지 않으므로 $f$ 는 리만 적분 불가능합니다.

디리클레 함수 $f = \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ 가 $[0, 1]$ 의 모든 점에서 불연속임을 수열을 이용해 완전히 증명하세요.

r_k \to x,\ f(r_k) = 1 \qquad s_k \to x,\ f(s_k) = 0

n = 8

: 빨간 점(유리수,

f = 1

)과 그 사이의 빈틈(무리수,

f = 0

)이 모든 구간에 번갈아 나타납니다 — 어느 점에서도 "가까운 점들의 함숫값"이 하나로 모이지 않습니다.

증명 보기

임의의 $x \in [0, 1]$ 을 잡습니다. 유리수와 무리수의 조밀성에 의해, 각 $k \ge 1$ 마다 구간 $(x - \tfrac1k,\, x + \tfrac1k) \cap [0, 1]$ 에서 유리수 $r_k$ 와 무리수 $s_k$ 를 고를 수 있습니다. $|r_k - x| < \frac1k$ , $|s_k - x| < \frac1k$ 이므로 $r_k \to x$ 이고 $s_k \to x$ 입니다.
그런데 $f(r_k) = 1$ 이므로 $f(r_k) \to 1$ 이고, $f(s_k) = 0$ 이므로 $f(s_k) \to 0$ 입니다. $f$ 가 $x$ 에서 연속이라면 수열 연속성에 의해 두 극한이 모두 $f(x)$ 와 같아야 하는데, $1 \ne 0$ 이므로 모순입니다.
따라서 $f$ 는 $[0, 1]$ 의 모든 점에서 불연속입니다. "너무 불연속이라" 리만 적분이 안 되는 셈입니다 — 르베그 적분은 유리수 집합의 측도가 $0$ 임을 이용해 $\int f = 0$ 을 구합니다 (르베그 장면 참조).