파르세발 항등식

구형파 $f(x) = \operatorname{sgn}(x)$ ( $[-\pi, \pi]$ )에 대해 파스발 항등식을 검증하세요: 먼저 씬에서 $S_N$ 이 2에 접근함을 수치로 확인한 뒤, $\sum_{\text{홀수 } n} \frac{16}{\pi^2 n^2} = 2$ 를 바젤 문제 $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 으로부터 엄밀히 증명하세요.

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2 = 2 = \sum_{\text{odd } n} \frac{16}{\pi^2 n^2}, \qquad \sum_{\text{odd } n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{8}

구형파,

N = 40

:

S_{40} = \sum_{\text{홀수 } n \le 40} \frac{16}{\pi^2 n^2} \approx 1.9798

— 목표 2의 약 99%에 도달했습니다.

증명 보기

$f^2 = 1$ 이므로 $L^2$ 노름은 $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2\,dx = \frac{2\pi}{\pi} = 2$ 입니다. $f$ 가 기함수이므로 $a_n = 0$ 이고, $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \sin(nx)\,dx = \frac{2(1 - (-1)^n)}{n\pi}$ — 홀수 $n$ 에서 $\frac{4}{n\pi}$ , 짝수 $n$ 에서 0입니다.
따라서 파스발의 우변은 $\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n\ge 1} b_n^2 = \sum_{\text{홀수 } n} \frac{16}{\pi^2 n^2} = \frac{16}{\pi^2}\sum_{\text{홀수 } n} \frac{1}{n^2}$ 입니다. 바젤 문제에서 $\sum_{n\ge 1} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ 이고, 짝수 항만 모으면 $\sum_{k\ge 1} \frac{1}{(2k)^2} = \frac{1}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}$ 이므로, 홀수 항의 합은 $\frac{\pi^2}{6} - \frac{\pi^2}{24} = \frac{\pi^2}{8}$ 입니다.
대입하면 $\frac{16}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{8} = 2$ — 좌변의 $L^2$ 노름 2와 정확히 일치합니다. 파스발 항등식이 이 예에서 성립함이 증명되었습니다. 씬의 막대가 $N = 40$ 에서 2에 바짝 붙는 것은 이 무한합의 부분합을 보는 것입니다.

삼각 함수계의 직교성을 이용해 $\|f - S_N\|_2^2 \ge 0$ 을 전개함으로써 베셀 부등식 $\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2) \le \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f^2$ 를 완전히 증명하세요 (파스발의 유한 핵심).

0 \le \|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\right)

톱니파,

N = 20

:

S_{20} = \sum_{n\le 20} \frac{4}{n^2} \approx 6.38

이

L^2

노름

\frac{2\pi^2}{3} \approx 6.5797

아래에 있습니다 — 베셀 부등식 그 자체입니다.

증명 보기

내적을 $\langle g, h\rangle = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} g(x)h(x)\,dx$ 로 두면 삼각 함수계 $\{1/\sqrt{2}, \cos(nx), \sin(nx)\}$ 는 정규직교계입니다. 푸리에 부분합을 $S_N = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n\cos(nx) + b_n\sin(nx))$ 라 쓰면, $\|f - S_N\|_2^2 = \langle f - S_N, f - S_N\rangle = \|f\|_2^2 - 2\langle f, S_N\rangle + \|S_N\|_2^2$ 입니다 — 항상 0 이상입니다.
계수의 정의가 곧 $\langle f, \cos(nx)\rangle = a_n$ , $\langle f, \sin(nx)\rangle = b_n$ , $\langle f, 1\rangle = a_0$ 이므로, $\langle f, S_N\rangle = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)$ 입니다. 직교성에 의해 $\|S_N\|_2^2 = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)$ 도 같습니다 (교차항이 전부 0).
대입하면 $0 \le \|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - 2E_N + E_N = \|f\|_2^2 - E_N$ (여기서 $E_N = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)$ ) — 즉 $E_N \le \|f\|_2^2$ 입니다. 이것이 베셀 부등식이며, 씬에서 막대가 점선을 절대 넘지 않는 이유입니다. $N \to \infty$ 극한이 파스발 항등식이 됩니다 (아래 문제 3).

파스발 항등식 $\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n\ge 1}(a_n^2 + b_n^2) = \|f\|_2^2$ 가 성립하면 푸리에 부분합 $S_N$ 이 $L^2$ 에서 $f$ 로 수렴함을 증명하세요. 삼각다항식이 조밀하다는 완비성은 다리로만 언급하세요 (이 단계는 아이디어 수준).

\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - \left(\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)\right) \;\xrightarrow[N \to \infty]{}\; 0

포물선,

N = 12

: 에너지가

1/n^4

으로 들어가

S_{12}

가 이미

L^2

노름

\frac{2\pi^4}{5} \approx 38.96

의 99.99% 이상을 포착합니다 —

L^2

수렴이 눈앞에서 일어납니다.

증명 보기

문제 2의 전개는 부등식이 아니라 항등식입니다: $0$ 이 아닌 $\|f - S_N\|_2^2$ 를 그대로 두면 $\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - E_N$ (여기서 $E_N = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{N}(a_n^2 + b_n^2)$ )을 얻습니다 — 직교성 덕분에 교차항이 사라지고 이 식이 정확히 성립합니다.
파스발 항등식은 $E_N \to \|f\|_2^2$ ( $N \to \infty$ )라고 말합니다. 따라서 $\|f - S_N\|_2^2 = \|f\|_2^2 - E_N \to 0$ — 즉 $S_N \to f$ in $L^2$ 입니다. 부등식에서 등식으로 넘어가는 이 한 걸음이 전부입니다: 함의 자체는 완전히 증명되었습니다.
다리 (아이디어 수준): 파스발 항등식 자체가 성립하려면 삼각 함수계가 "완비"해야 합니다 — 유한 삼각다항식으로 $f$ 를 $L^2$ 에서 원하는 만큼 가깝게 근사할 수 있다는 뜻입니다. 이 조밀성은 연속 함수의 바이어슈트라스 근사 정리 + 연속 함수가 $L^2$ 에서 조밀하다는 것으로 보이며, 그 증명은 여기서 생략합니다. 일단 다리가 놓이면 위의 함의가 $L^2$ 수렴을 완성합니다.

예제