Gibbs 현상

$S_N(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\frac{\sin((2k-1)x)}{2k-1}$ 을 미분하여 $S_N'(x) = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{\sin x}$ 임을 증명하세요. $(0, \pi)$ 에서의 임계점이 $x_m = \frac{m\pi}{2N}$ 이며, 첫 번째 피크가 $x_1 = \frac{\pi}{2N}$ 에 있음을 보이세요. (완전 증명)

\sum_{k=1}^{N}\cos((2k-1)x) = \Re\sum_{k=1}^{N}e^{i(2k-1)x} = \frac{\sin(2Nx)}{2\sin x}

S_N'(x) = \frac{4}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{2\sin x} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{\sin x}

x_m = \frac{m\pi}{2N}\quad (m = 1, \dots, 2N-1)

N = 12

: 첫 피크는

x_1 = \frac{\pi}{24} \approx 0.1309

— 미분 항등식의 영점이 피크 위치를 정확히 찍습니다.

증명 보기

유한합이므로 항별 미분이 정당합니다: $S_N'(x) = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{N}\cos((2k-1)x)$ . 코사인 합을 복소지수로 봅니다: $\sum_{k=1}^{N}\cos((2k-1)x) = \Re\sum_{k=1}^{N}e^{i(2k-1)x}$ .
등비급수입니다: $\sum_{k=1}^{N}e^{i(2k-1)x} = e^{ix}\frac{1 - e^{i2Nx}}{1 - e^{i2x}}$ . 분자와 분모를 인수분해하면 $1 - e^{i2Nx} = -2i\,e^{iNx}\sin(Nx)$ , $1 - e^{i2x} = -2i\,e^{ix}\sin x$ 이므로, 비는 $\frac{e^{iNx}\sin(Nx)}{e^{ix}\sin x} = e^{i(N-1)x}\frac{\sin(Nx)}{\sin x}$ 가 됩니다. 앞에 $e^{ix}$ 를 곱하면 $e^{iNx}\frac{\sin(Nx)}{\sin x}$ 이고, 실수부는 $\frac{\cos(Nx)\sin(Nx)}{\sin x} = \frac{\sin(2Nx)}{2\sin x}$ 입니다.
따라서 $S_N'(x) = \frac{4}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{2\sin x} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\sin(2Nx)}{\sin x}$ 입니다 — 홀수 주파수에 대한 Dirichlet 핵의 닫힌 형태입니다.
$(0, \pi)$ 에서 $\sin x \ne 0$ 이므로, 임계점은 $\sin(2Nx) = 0$ 에서: $2Nx = m\pi$ , 즉 $x_m = \frac{m\pi}{2N}$ ( $m = 1, \dots, 2N-1$ ). 구간 $(0, \frac{\pi}{2N})$ 에서는 $\sin(2Nx) > 0$ 이고 $\sin x > 0$ 이므로 $S_N'(x) > 0$ 이며, $S_N(0) = 0$ 에서 출발해 단조증가하다가 $x_1 = \frac{\pi}{2N}$ 에서 첫 번째 극대(피크)를 찍습니다.

첫 피크의 높이가 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898$ 로 수렴함을 보이세요. 단, 적분 기호 아래로 $N \to \infty$ 극한을 통과시키는 단계를 analysis step으로 명시하세요. 또한 $\mathrm{Si}(t) = \int_0^t \frac{\sin u}{u}\,du$ 가 $t = \pi$ 에서 전역 최댓값을 가짐을 증명하세요. (analysis step 표기를 제외하고 완전 증명)

S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^{2Nx}\frac{\sin t}{2N\sin(t/2N)}\,dt

\xrightarrow{\text{analysis step}} \frac{2}{\pi}\int_0^{2Nx}\frac{\sin t}{t}\,dt

\mathrm{Si}'(t) = \frac{\sin t}{t} > 0 \quad \text{on } (0, \pi)

N = 12

: 측정 피크

\approx 1.17956

, 이론 한계

\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898

— 오차

0.0006

미만.

증명 보기

$S_N(0) = 0$ 이므로 $S_N(x) = \int_0^x S_N'(u)\,du$ 입니다. 앞 문제의 항등식을 대입하면 $S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^x \frac{\sin(2Nu)}{\sin u}\,du$ . 치환 $t = 2Nu$ ( $dt = 2N\,du$ )로 $S_N(x) = \frac{2}{\pi}\int_0^{2Nx}\frac{\sin t}{2N\sin(t/2N)}\,dt$ 를 얻습니다 — 여기까지는 순수한 대수입니다.
고정된 $t$ 마다 $2N\sin(t/2N) \to t$ 입니다 ( $\sin v \sim v$ ). ★ 여기서 딱 한 번 analysis를 씁니다: $x \le \frac{\pi}{2}$ 일 때 (특히 피크 $x_1 = \frac{\pi}{2N}$ 에서) $t \in (0, 2Nx]$ 에 대해 $v = \frac{t}{2N} \in [0, \frac{\pi}{2}]$ 이고, $\sin v \ge \frac{2v}{\pi}$ 에서 $2N\sin(t/2N) \ge \frac{2t}{\pi}$ 를 얻습니다. 따라서 피적분함수는 $\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\lvert\sin t\rvert}{t} \le \frac{\pi}{2}$ 로 지배되고, 지배수렴정리로 극한을 적분 안으로: $S_N(x) \to \frac{2}{\pi}\int_0^{2Nx}\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(2Nx)$ .
첫 피크 $x_1 = \frac{\pi}{2N}$ 에서는 $2Nx_1 = \pi$ 이므로, 피크 높이는 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898$ 로 수렴합니다. 수치 교차검증: 푸리에 씬이 관측한 $\mathrm{GIBBS\_PEAK} = 1.178979744472167$ 과 $10^{-9}$ 이내로 일치합니다.
$\mathrm{Si}'(t) = \frac{\sin t}{t} > 0$ 이므로 $\mathrm{Si}$ 는 $(0, \pi)$ 에서 엄격히 증가합니다. $t > \pi$ 에서는 꼬리 $\int_{\pi}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du$ 를 $L_k = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\sin u}{u}\,du$ ( $k \ge 1$ ) 로브들의 합으로 봅니다: 부호가 교대하고, $\lvert L_{k+1}\rvert = \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\lvert\sin v\rvert}{v+\pi}\,dv < \int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{\lvert\sin v\rvert}{v}\,dv = \lvert L_k\rvert$ 이므로 크기가 감소하며, 첫 로브 $L_1 < 0$ 입니다. 교대급수의 부분합은 전부 음수이므로 (짝수 개는 음수 쌍들의 합, 홀수 개는 거기에 음수 로브 하나 추가), $\mathrm{Si}(t) < \mathrm{Si}(\pi)$ ( $t > \pi$ ). 따라서 $\mathrm{Si}$ 의 전역 최댓값은 $t = \pi$ 에서, 값은 $\approx 1.85194$ 입니다.

울림이 점프(크기 2)의 약 $8.949\%$ 임을 계산하고, $N \to \infty$ 에서도 사라지지 않는 이유를 증명하세요. (완전 증명)

\frac{\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - 1}{2} \approx 0.08948987 \approx 8.949\%

S_N\!\left(\frac{t}{2N}\right) \;\xrightarrow[N\to\infty]{}\; \frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(t) \quad \text{(N-independent limit)}

N = 12

에서도 울림은 이미 점프의

8.949\%

—

N

을 키워도 이 비율은 그대로입니다.

증명 보기

피크 높이의 한계는 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.17898$ 이고 정사각파의 값은 $1$ 이므로, 울림은 $1.17898 - 1 = 0.17898$ 입니다. 점프가 $-1$ 에서 $1$ 로 크기 $2$ 이니, 울림의 비율은 $\frac{0.17898}{2} = 0.08948987 \approx 8.949\%$ 입니다.
사라지지 않는 이유: 재조정된 좌표 $t = 2Nx$ 에서는 곡선 전체가 $N$ 과 무관한 한계함수 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(t)$ 로 수렴합니다 (앞 문제). 첫 번째 혹(bump)은 $t$ 좌표에서 고정된 모양·높이를 가집니다.
원래 $x$ 좌표로 돌아오면 $t$ 구간의 폭이 $1/(2N)$ 으로 압축됩니다: 혹의 너비는 $\sim \pi/N \to 0$ 으로 좁아지지만, 높이는 상수 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi) - 1 \approx 0.179$ 로 수렴합니다. 한 문장으로: 혹(bump)은 $1/N$ 처럼 좁아지지만 절대 낮아지지 않는다.
이것이 푸리에 씬의 수치 관찰이 정확히 $\frac{2}{\pi}\mathrm{Si}(\pi)$ 이어야 했던 이유입니다 — 수치로 먼저 본 상수를 해석학이 뒤늦게 증명한 셈입니다.

예제