8. 함수급수와 푸리에

함수들의 급수가 언제 균등수렴하는지, 그리고 푸리에급수와 깁스 현상을 다룹니다.

• M-판정법 — 각 항을 모든 $x$에서 누르는 수열 $M_n$이 있으면 급수는 균등수렴합니다 — $\left|\frac{\sin(nx)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2} =: M_n$, $\sum M_n = \frac{\pi^2}{6}$이므로 부분합 오차 띠가 전체 $x$ 구간에서 한꺼번에 좁아집니다.
• 디니 정리 — 컴팩트 집합 위에서는 단조인 연속함수열의 점별수렴이 균등수렴이 됩니다 — 열린 덮개 $E_n$들의 유한 부분덮개가 한 번에 잡아줍니다. M-판정법의 쌍대 도구.
• 푸리에 정사각파 — 정사각파에 사인파를 겹쳐봅니다. 점프점 옆의 울림은 $N$을 키워도 사라지지 않습니다.
• Fejér 정리 — 푸리에 부분합의 체자로 평균 $\sigma_N$은 연속함수에 균등수렴합니다 — Fejér kernel이 근사 항등원이기 때문입니다. 울림 많은 $S_N$과 매끈한 $\sigma_N$을 겹쳐보세요.
• Gibbs 현상 — 점프점 옆의 혹이 왜 사라지지 않는가 — 스케일을 $t = 2Nx$로 바꾸면 $S_N$이 $(2/\pi)\mathrm{Si}(t)$에 붙고, 첫 봉우리는 $(2/\pi)\mathrm{Si}(\pi) \approx 1.179$에 수렴합니다. 오버슈트는 점프의 약 8.95%.