토매 함수

팝콘 함수 f(p/q)=1/qf(p/q) = 1/q (기약분수), f(x)=0f(x) = 0 (무리수): 모든 무리수에서 연속이고 모든 유리수에서 불연속입니다. ε\varepsilon을 주면 높이가 ε\varepsilon 이상인 점은 유한개뿐 — 그래서 무리수 근처에서는 δ\delta를 잡을 수 있습니다.

f(x)={1/qx=p/q in lowest terms0x∉Qf(x) = \begin{cases} 1/q & x = p/q \text{ in lowest terms} \\ 0 & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}
{x:f(x)≥ε}={p/q:q≤1/ε} finite\{x : f(x) \ge \varepsilon\} = \{p/q : q \le 1/\varepsilon\} \text{ finite}

예제

토메 함수 ff (f(p/q)=1/qf(p/q) = 1/q (기약분수), 무리수에서 f=0f = 0)가 모든 유리수 x0x_0에서 불연속임을 완전히 증명하세요.

x0=pq (lowest terms)⇒f(x0)=1q>0,ε=12qx_0 = \frac{p}{q}\ \text{(lowest terms)} \Rightarrow f(x_0) = \frac{1}{q} > 0, \quad \varepsilon = \frac{1}{2q}
x0=1/2x_0 = 1/2 (유리수)에 중심을 둔 보기: f(1/2)=1/2f(1/2) = 1/2이지만 1/21/2에 아무리 가까워도 f=0f = 0인 무리수가 있어, ε=1/4\varepsilon = 1/4에 대한 δ\delta가 존재하지 않습니다.
증명 보기
  1. x0=p/qx_0 = p/q를 기약분수라 두면 f(x0)=1/q>0f(x_0) = 1/q > 0입니다. ε=1/(2q)>0\varepsilon = 1/(2q) > 0으로 둡니다. 유리수의 조밀성의 쌍대 — 무리수도 조밀하므로 — 임의의 δ>0\delta > 0에 대해 구간 (x0−δ,x0+δ)(x_0 - \delta, x_0 + \delta) 안에는 무리수 xx가 존재합니다.
  2. 무리수 xx에서는 f(x)=0f(x) = 0이므로 ∣f(x)−f(x0)∣=1/q>1/(2q)=ε|f(x) - f(x_0)| = 1/q > 1/(2q) = \varepsilon입니다. 즉, 어떤 δ>0\delta > 0를 잡아도 ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면서 ∣f(x)−f(x0)∣≥ε|f(x) - f(x_0)| \ge \varepsilon인 xx가 존재하므로, ε\varepsilon-δ\delta 정의에 의해 ff는 x0x_0에서 연속이 아닙니다.
  3. x0x_0는 임의의 유리수였으므로, 토메 함수는 모든 유리수에서 불연속입니다. 씬에서 중심을 유리수(예: 1/21/2)에 두면 δ=0\delta = 0이 되어 위의 논증이 그대로 드러납니다.

토메 함수가 모든 무리수 x0x_0에서 연속임을 ε\varepsilon-δ\delta 논증으로 완전히 증명하세요.

Sε={x∈[0,1]:f(x)≥ε}={pq:q≤1ε} finiteS_\varepsilon = \left\{x \in [0,1] : f(x) \ge \varepsilon\right\} = \left\{\frac{p}{q} : q \le \frac{1}{\varepsilon}\right\}\ \text{finite}
무리수 x0≈0.618x_0 \approx 0.618에 중심을 둔 보기: ε=0.1\varepsilon = 0.1 이상으로 솟은 점은 q≤10q \le 10인 유한개의 점뿐이고, δ\delta는 그중 가장 가까운 점까지의 거리입니다.
증명 보기
  1. x0x_0를 무리수, ε>0\varepsilon > 0을 임의로 둡니다. f(x)≥εf(x) \ge \varepsilon인 점들의 집합 Sε={x∈[0,1]:f(x)≥ε}S_\varepsilon = \{x \in [0,1] : f(x) \ge \varepsilon\}을 봅니다. ff의 정의에 의해 SεS_\varepsilon의 원소는 1/q≥ε1/q \ge \varepsilon, 즉 q≤1/εq \le 1/\varepsilon인 기약분수 p/qp/q뿐이므로, SεS_\varepsilon은 유한집합입니다.
  2. x0x_0는 무리수이므로 x0∉Sεx_0 \notin S_\varepsilon입니다. 따라서 유한개의 양수 {∣x−x0∣:x∈Sε}\{|x - x_0| : x \in S_\varepsilon\}의 최솟값 δ=min⁡x∈Sε∣x−x0∣\delta = \min_{x \in S_\varepsilon} |x - x_0|는 00보다 큽니다. ∣x−x0∣<δ|x - x_0| < \delta이면 xx는 SεS_\varepsilon의 어떤 원소와도 거리가 δ\delta 이상이므로 x∉Sεx \notin S_\varepsilon — 즉 f(x)<εf(x) < \varepsilon입니다 (x=x0x = x_0인 경우 f(x0)=0<εf(x_0) = 0 < \varepsilon로 자명).
  3. ∣f(x)−f(x0)∣=∣f(x)−0∣=f(x)<ε|f(x) - f(x_0)| = |f(x) - 0| = f(x) < \varepsilon이므로 ff는 x0x_0에서 연속입니다. x0x_0는 임의의 무리수였으므로 토메 함수는 모든 무리수에서 연속입니다 — 씬의 δ\delta 표시가 바로 이 최솟값입니다.

토메 함수가 연속함수들의 각 점별 극한(pointwise limit)이 됨을 보이세요 — 즉 베어 1급(Baire class 1) 함수임을 완전히 증명하세요.

fn(x)=max⁡p/q lowest terms, q≤nmax⁡(0,1q−n∣x−pq∣)→f(x) ∀xf_n(x) = \max_{\substack{p/q\ \text{lowest terms},\ q \le n}} \max\left(0, \frac{1}{q} - n\left|x - \frac{p}{q}\right|\right) \to f(x)\ \forall x
Q=30Q = 30, ε=0.05\varepsilon = 0.05: 연속인 텐트 함수들의 각 점별 극한이 이 팝콘 점들을 그려냅니다 — 베어 1급 함수는 조밀한 연속점 집합을 가져야 하며, 토메 함수의 연속점은 무리수 전체(조밀한 GδG_\delta)입니다.
증명 보기
  1. 각 n≥1n \ge 1에 대해 Sn={p/q:1≤q≤n, gcd⁡(p,q)=1}S_n = \{p/q : 1 \le q \le n,\ \gcd(p,q) = 1\} (유한집합)이라 두고, fn(x)=max⁡r∈Snmax⁡(0,1/q(r)−n∣x−r∣)f_n(x) = \max_{r \in S_n} \max(0, 1/q(r) - n|x - r|) (r=p/qr = p/q의 분모를 q(r)q(r))로 정의합니다. 각 텐트 x↦max⁡(0,1/q−n∣x−r∣)x \mapsto \max(0, 1/q - n|x - r|)는 연속이고 유한개의 최댓값도 연속이므로, fnf_n은 연속함수입니다.
  2. x=a/bx = a/b를 기약분수라 두면, n≥bn \ge b일 때 r=xr = x인 텐트가 값 1/b1/b를 주고, 다른 r′=p/q≠xr' = p/q \ne x (q≤nq \le n)에 대해서는 ∣x−r′∣≥1/(bq)|x - r'| \ge 1/(bq) (분모가 b,qb, q인 서로 다른 유리수는 1/(bq)1/(bq) 이상 떨어져 있음)이므로 n∣x−r′∣≥n/(bq)≥1/qn|x - r'| \ge n/(bq) \ge 1/q — 텐트 값이 0이 됩니다. 따라서 n≥bn \ge b에서 fn(x)=1/b=f(x)f_n(x) = 1/b = f(x)입니다.
  3. xx가 무리수이면 f(x)=0f(x) = 0입니다. M≥1M \ge 1을 고정하면, 분모 q≤Mq \le M인 텐트는 ∣x−r∣|x - r|이 양의 하한을 가지므로(무리수 xx와 분모 ≤M\le M인 유리수는 유한개) nn이 크면 모두 0이 되고, q>Mq > M인 텐트는 값이 1/q<1/M1/q < 1/M 이하입니다. 따라서 lim sup⁡n→∞fn(x)≤1/M\limsup_{n \to \infty} f_n(x) \le 1/M — MM이 임의이므로 fn(x)→0=f(x)f_n(x) \to 0 = f(x)입니다. 모든 xx에서 fn→ff_n \to f이므로 토메 함수는 베어 1급입니다.

3. 연속함수