3. 연속함수

ε-δ로 연속성을 정의하고, 균등연속·중간값 정리·최대최소 정리까지 연속함수의 성질을 탐구합니다.

• ε-δ 정의 — 함수의 극한 $\lim_{x\to a} f(x) = L$의 엄밀한 뜻: $\varepsilon$ 띠를 아무리 좁혀도, $a$ 근처의 $\delta$ 띠 안에서는 $f$가 그 띠 안에 머뭅니다. $f(x)=2x$, $a=1$, $L=2$에서 $\delta=\varepsilon/2$를 확인합니다.
• 연속의 정의 — $f$가 $a$에서 연속이란 $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$인 것 — 극한값과 함수값이 일치해야 합니다. 점 $a$를 움직여 보고, broken 모드에서는 한 점의 값을 들어 올려 정의가 깨지는 모습을 확인합니다.
• 단조함수의 불연속점 — 단조함수는 모든 점에서 좌극한과 우극한을 가지므로, 불연속점은 모두 점프입니다. 점프 크기가 $1/n$을 넘는 점은 유한 개뿐이므로, 불연속점은 아무리 많아도 가산 개입니다.
• 균등연속 — 균등연속에서는 하나의 $\delta$가 모든 점 $x$에서 통한다 — $\delta$는 $\varepsilon$에만 의존하고 $x$에는 의존하지 않는다. $f(x) = x^2$에서는 $x$가 커질수록 필요한 $\delta$가 줄어들어 $\mathbb{R}$ 전체를 감당하는 $\delta$가 없음을 직접 확인해 보자.
• 중간값 정리 — 연속함수는 $[a,b]$에서 $f(a)$와 $f(b)$ 사이의 모든 값을 반드시 밟고 지나갑니다. 목표 높이 $c$를 움직이며 건너는 점 $\xi$를 찾아봅니다.
• 최댓값 정리 — 닫힌 구간 위의 연속함수는 최댓값과 최솟값을 반드시 취합니다. $f(x) = x^3 - 3x$ on $[-2,2]$에서 확인하고, 열린 구간과 불연속 반례로 두 가설이 모두 필요함을 봅니다.
• 균등수렴 vs 점별수렴 — $f_n(x)=x^n$은 $[0,1]$의 각 점에서는 수렴하지만, $\sup|f_n-f|=1\not\to 0$이라 균등하게 수렴하지는 않습니다. 극한함수가 $x=1$에서 끊어지는 모습을 확인합니다.