바나흐 고정점

y=xy = x와 y=f(x)y = f(x) 사이를 오가는 거미줄이 한 점으로 빨려듭니다. 오차는 qnq^n으로 줄어듭니다.

d(f(x),f(y))≤q d(x,y),  q<1  ⇒  xn+1=f(xn)→x∗d(f(x),f(y)) \le q\,d(x,y),\; q<1 \;\Rightarrow\; x_{n+1} = f(x_n) \to x^*

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

f(x)=x2+1f(x) = \frac{x}{2} + 1이 q=12q = \frac12인 수축사상임을 보이고, 고정점과 오차 상한을 구하세요.

x∗=2,∣xn−2∣≤(12)n∣x0−2∣x^* = 2, \quad |x_n - 2| \le \left(\tfrac12\right)^n |x_0 - 2|
x0=0x_0 = 0, n=8n = 8: 오차 =0.0078= 0.0078이 상한과 정확히 일치합니다.
증명 보기
  1. ∣f(x)−f(y)∣=∣x−y2∣=12∣x−y∣|f(x) - f(y)| = \left|\frac{x-y}{2}\right| = \frac12|x - y|이므로 q=12q = \frac12인 수축사상입니다.
  2. x=x2+1x = \frac{x}{2} + 1을 풀면 x∗=2x^* = 2입니다.
  3. ∣xn+1−2∣=12∣xn−2∣|x_{n+1} - 2| = \frac12|x_n - 2|이므로 귀납법으로 ∣xn−2∣=(12)n∣x0−2∣|x_n - 2| = \left(\frac12\right)^n|x_0 - 2|입니다. x0=0x_0 = 0, n=8n = 8이면 오차는 2256=0.0078125\frac{2}{256} = 0.0078125입니다.

cos⁡x\cos x는 [0,1][0,1]에서 수축사상임을 보이고, 도티 수 x∗≈0.739x^* \approx 0.739의 존재·유일성을 설명하세요.

∣cos⁡x−cos⁡y∣≤sin⁡(1) ∣x−y∣,sin⁡(1)≈0.8415<1|\cos x - \cos y| \le \sin(1)\,|x - y|, \quad \sin(1) \approx 0.8415 < 1
n=20n = 20: 반복값이 도티 수 0.7390850.739085에 달라붙습니다.
증명 보기
  1. 평균값 정리에 의해 ∣cos⁡x−cos⁡y∣=∣−sin⁡ξ∣⋅∣x−y∣≤sin⁡(1) ∣x−y∣|\cos x - \cos y| = |-\sin\xi|\cdot|x - y| \le \sin(1)\,|x - y|이고, sin⁡(1)≈0.8415<1\sin(1) \approx 0.8415 < 1이므로 수축사상입니다. 또한 cos⁡\cos는 [0,1][0,1]에서 감소하므로 ((cos⁡)′=−sin⁡<0(\cos)' = -\sin < 0), cos⁡([0,1])=[cos⁡1,cos⁡0]=[cos⁡1,1]⊂[0,1]\cos([0,1]) = [\cos 1, \cos 0] = [\cos 1, 1] \subset [0,1]입니다 (cos⁡1≈0.5403>0\cos 1 \approx 0.5403 > 0) — [0,1][0,1]을 자기 자신 안으로 보내는 수축사상입니다.
  2. 바나흐 정리에 의해 [0,1][0,1] 안에 유일한 고정점이 존재합니다 — 도티 수 x∗≈0.739085x^* \approx 0.739085입니다 (수치는 반복 계산값).

고정점이 최대 하나임을 세 줄로 증명하세요.

∣x∗−y∗∣=∣f(x∗)−f(y∗)∣≤q∣x∗−y∗∣|x^* - y^*| = |f(x^*) - f(y^*)| \le q|x^* - y^*|
어디서 시작해도 같은 점 x∗=2x^* = 2로 빨려듭니다.
증명 보기
  1. x∗x^*, y∗y^*가 모두 고정점이라 가정합니다.
  2. ∣x∗−y∗∣=∣f(x∗)−f(y∗)∣≤q∣x∗−y∗∣|x^* - y^*| = |f(x^*) - f(y^*)| \le q|x^* - y^*|입니다.
  3. q<1q < 1이므로 이는 ∣x∗−y∗∣=0|x^* - y^*| = 0, 즉 x∗=y∗x^* = y^*를 강제합니다.

10. 미분