바나흐 고정점

거미줄 그림이 한 점으로 빨려드는 씬입니다. 그 점이 바로 고정점입니다.

거리를 일정 비율로 줄이는 함수를 반복 적용합니다. 점들은 서로에게 점점 가까워집니다. 결국 갈 곳은 단 하나의 점뿐입니다.

예를 들면, 📦 상자 안에 더 작은 상자를 넣고 그 안에 또 작은 상자를 넣다 보면, 결국 한 점에 모이는 것과 같아요. 반복할수록 남는 자리가 좁아져요.

예제

$f(x) = \frac{x}{2} + 1$ 이 $q = \frac12$ 인 수축사상임을 보이고, 고정점과 오차 상한을 구하세요.

x^* = 2, \quad |x_n - 2| \le \left(\tfrac12\right)^n |x_0 - 2|

x_0 = 0

n = 8

: 오차

= 0.0078

이 상한과 정확히 일치합니다.

증명 보기

$|f(x) - f(y)| = \left|\frac{x-y}{2}\right| = \frac12|x - y|$ 이므로 $q = \frac12$ 인 수축사상입니다.
$x = \frac{x}{2} + 1$ 을 풀면 $x^* = 2$ 입니다.
$|x_{n+1} - 2| = \frac12|x_n - 2|$ 이므로 귀납법으로 $|x_n - 2| = \left(\frac12\right)^n|x_0 - 2|$ 입니다. $x_0 = 0$ , $n = 8$ 이면 오차는 $\frac{2}{256} = 0.0078125$ 입니다.

$\cos x$ 는 $[0,1]$ 에서 수축사상임을 보이고, 도티 수 $x^* \approx 0.739$ 의 존재·유일성을 설명하세요.

|\cos x - \cos y| \le \sin(1)\,|x - y|, \quad \sin(1) \approx 0.8415 < 1

n = 20

: 반복값이 도티 수

0.739085

에 달라붙습니다.

증명 보기

$\cos$ 는 $[0,1]$ 에서 연속이고 $(0,1)$ 에서 미분가능하므로 평균값 정리를 적용할 수 있습니다: 어떤 $\xi$ 가 $x, y$ 사이에 있어 $|\cos x - \cos y| = |-\sin\xi|\cdot|x - y|$ 입니다.
$\xi \in [0,1] \subset [0, \frac{\pi}{2})$ 이고 $\sin$ 은 $[0, \frac{\pi}{2})$ 에서 증가하므로 $|\sin\xi| \le \sin(1)$ 이며, 따라서 $|\cos x - \cos y| \le \sin(1)\,|x - y|$ 이고, $\sin(1) \approx 0.8415 < 1$ 이므로 수축사상입니다.
또한 $\cos$ 는 $[0,1]$ 에서 감소하므로 ( $(\cos)' = -\sin < 0$ ), $\cos([0,1]) = [\cos 1, \cos 0] = [\cos 1, 1] \subset [0,1]$ 입니다 ( $\cos 1 \approx 0.5403 > 0$ ) — $[0,1]$ 을 자기 자신 안으로 보내는 수축사상입니다.
$[0,1]$ 은 $\mathbb{R}$ 에서 닫힌집합이므로 완비입니다 — 바나흐 정리의 완비성 가정이 성립합니다. 따라서 바나흐 정리에 의해 $[0,1]$ 안에 유일한 고정점이 존재합니다 — 도티 수 $x^* \approx 0.739085$ 입니다 (수치는 반복 계산값).

고정점이 최대 하나임을 세 줄로 증명하세요.

|x^* - y^*| = |f(x^*) - f(y^*)| \le q|x^* - y^*|

어디서 시작해도 같은 점

x^* = 2

로 빨려듭니다.

증명 보기