스톤-바이어슈트라스 정리

원 $S^1$ 위의 삼각다항식, 즉 $T(\theta) = \sum_{k=-n}^{n} c_k e^{ik\theta}$ 꼴의 함수들의 집합이 Stone–Weierstrass 정리의 가정을 만족함을 보이세요: 곱셈에 닫혀 있는 부분대수이고, 상수를 포함하며, 점을 분리합니다.

e^{ik\theta} e^{im\theta} = e^{i(k+m)\theta}, \qquad \cos A \cos B = \tfrac12(\cos(A-B) + \cos(A+B))

\theta_1 \ne \theta_2 \pmod{2\pi} \ \Longrightarrow \ \cos\theta_1 \ne \cos\theta_2 \ \text{or} \ \sin\theta_1 \ne \sin\theta_2

차수

n = 8

: 균등오차

\lVert S_8 - f\rVert_\infty \approx 0.0792

— 삼각다항식으로 삼각파

f(x) = |x|

를 대수적 다항식 없이 근사합니다.

증명 보기

부분대수: $e^{ik\theta}$ 들의 유한 선형결합들의 집합 $\mathcal{T}$ 는 선형공간이며, 두 원소의 곱은 $e^{ik\theta} e^{im\theta} = e^{i(k+m)\theta}$ 이므로 다시 $\mathcal{T}$ 에 속합니다. 실수 계수 형태 $\sum_{k=0}^n (a_k \cos k\theta + b_k \sin k\theta)$ 에서는 삼각함수 곱셈 공식(예: $\cos A \cos B = \tfrac12(\cos(A-B) + \cos(A+B))$ )이 같은 역할을 합니다. 따라서 $\mathcal{T}$ 는 곱셈에 닫힌 부분대수입니다.
상수 포함: $k = 0$ 항 $c_0 e^{i0\theta} = c_0$ 이 임의의 상수를 만들므로, $\mathcal{T}$ 는 모든 상수함수를 포함합니다.
점 분리: $\theta_1 \ne \theta_2 \pmod{2\pi}$ 이라 하자. $\cos$ 와 $\sin$ 이 모두 같은 값을 가지면 $e^{i\theta_1} = \cos\theta_1 + i\sin\theta_1 = \cos\theta_2 + i\sin\theta_2 = e^{i\theta_2}$ 가 되어 $\theta_1 = \theta_2 \pmod{2\pi}$ 가 되므로 모순입니다. 따라서 $u(\theta) = \cos\theta \in \mathcal{T}$ 또는 $u(\theta) = \sin\theta \in \mathcal{T}$ 중 적어도 하나가 $\theta_1$ 과 $\theta_2$ 에서 다른 값을 가지며, 이는 $\mathcal{T}$ 가 점을 분리한다는 뜻입니다.
수치 확인 (차수 $n = 8$ ): 계수 항등식 $a_k = \frac{2}{\pi}\frac{(-1)^k - 1}{k^2}$ 에 의해 짝수 $k$ 는 사라지고 홀수 $k$ 만 $-\frac{4}{\pi k^2}$ 로 기여하므로, $S_8(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{\text{odd } k \le 8} \frac{\cos(kx)}{k^2}$ 가 삼각다항식입니다. 400점 격자 위의 균등오차는 $0.0792$ 로 캡션과 일치하며, $n = 40$ 에서는 $0.0159$ 까지 떨어집니다.

균등 폐쇄(uniformly closed)인 대수 $\mathcal{A} \subset C(K, \mathbb{R})$ 에 대해 $f \in \mathcal{A}$ 이면 $|f| \in \mathcal{A}$ 임을 보이세요. 이로부터 $\max(f, g)$ 와 $\min(f, g)$ 도 (균등 폐쇄인) $\mathcal{A}$ 에 속한다는 결론을 도출하세요.

|f| = p_k \circ f \ \text{의 극한}, \quad p_k \to |t| \ \text{on } [-M, M], \quad M = \|f\|_\infty

\max(f, g) = \frac{f + g + |f - g|}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - |f - g|}{2}

차수

n = 8

:

\lVert S_8 - f\rVert_\infty \approx 0.0792

— 증명에서 쓰인 대로 다항식 극한이 연속함수의 절댓값을 균등하게 포착합니다.

증명 보기

$M := \lVert f\rVert_\infty$ 이라 하자. 절대값 함수 $t \mapsto |t|$ 는 $[-M, M]$ 위의 연속함수이므로, 바이어슈트라스 근사 정리(앞의 씬)에 의해 다항식 수열 $p_k$ 가 있어 $p_k \to |t|$ 로 $[-M, M]$ 위에서 균등수렴합니다.
합성 $p_k \circ f$ 는 다항식과 $f$ 의 합성이므로 $\mathcal{A}$ 의 원소들의 선형결합, 즉 $\mathcal{A}$ 의 원소입니다 ( $\mathcal{A}$ 가 대수이므로). $f(K) \subset [-M, M]$ 이므로, $p_k \to |t|$ 의 $[-M, M]$ 위 균등수렴은 $p_k \circ f \to |f|$ 의 $K$ 위 균등수렴을 함의합니다.
$\mathcal{A}$ 가 균등 폐쇄이므로 균등 극한 $|f|$ 도 $\mathcal{A}$ 에 속합니다. 이제 $f - g \in \mathcal{A}$ 이면 $|f - g| \in \mathcal{A}$ 이므로, 항등식 $\max(f,g) = \frac{f+g+|f-g|}{2}$ 와 $\min(f,g) = \frac{f+g-|f-g|}{2}$ 에 의해 $\max(f,g), \min(f,g) \in \mathcal{A}$ 입니다 — 균등 폐쇄 대수는 격자(lattice)입니다.
해설: $p_k \circ f$ 단계에서 $\mathcal{A}$ 가 대수라는 가정이 필수적입니다 — $f$ 의 거듭제곱을 만드는 데 쓰입니다. 격자 성질은 아래 조밀성 논증에서 $\min$ 과 $\max$ 으로 근사식을 다듬을 때 사용됩니다.

Stone–Weierstrass 정리의 조밀성 논증을 완성하세요: 점을 분리하고 상수를 포함하는 부분대수 $\mathcal{A} \subset C(K, \mathbb{R})$ ( $K$ 콤팩트)에 대해 $\overline{\mathcal{A}}$ 는 $C(K, \mathbb{R})$ 에서 균등 조밀합니다.

\begin{pmatrix} u(x) & 1 \\ u(y) & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x) \\ f(y) \end{pmatrix}, \quad \det = u(x) - u(y) \ne 0

g_x = \min_j g_{xy_j} \le f + \varepsilon, \quad h = \max_i g_{x_i}, \quad f - \varepsilon < h < f + \varepsilon

차수

n = 25

:

\lVert S_{25} - f\rVert_\infty \approx 0.0245

— 격자 연산으로 다듬어진 근사식이

\varepsilon

안으로 들어오는 모습을 수치로 보여줍니다.

증명 보기

균등 폐포 $\overline{\mathcal{A}}$ 는 균등 폐쇄인 대수이며(곱셈의 균등연속성에 의해 극한에서도 닫힘), 점을 분리하고 상수를 포함합니다. $\overline{\mathcal{A}}$ 에 대해 조밀성을 보이면 충분합니다 — $\overline{\overline{\mathcal{A}}} = \overline{\mathcal{A}}$ 이므로, 아래 논증을 $\overline{\mathcal{A}}$ 에 적용하면 $\overline{\mathcal{A}}$ 가 $C(K, \mathbb{R})$ 에서 조밀해지고, 이는 곧 $\mathcal{A}$ 가 조밀하다는 뜻입니다.
(a) 두 점 보간: $f \in C(K, \mathbb{R})$ 와 $\varepsilon > 0$ 을 고정합니다. 서로 다른 $x, y \in K$ 에 대해, 점 분리 가정에 의해 $u(x) \ne u(y)$ 인 $u \in \mathcal{A}$ 가 존재합니다. 연립방정식 $\begin{pmatrix} u(x) & 1 \\ u(y) & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(x) \\ f(y) \end{pmatrix}$ 의 행렬식은 $u(x) - u(y) \ne 0$ 이므로 유일한 해 $(a, b)$ 가 존재하고, $g_{xy} := au + b \in \mathcal{A}$ 는 $g_{xy}(x) = f(x)$ , $g_{xy}(y) = f(y)$ 를 만족합니다 ( $b$ 항은 상수 포함 가정으로 $\mathcal{A}$ 에 있음). $x = y$ 일 때는 상수함수 $f(x)$ 를 취합니다.
(b) 위에서 누르기: $x$ 를 고정합니다. 각 $y \in K$ 에 대해 집합 $U_y := \{z : g_{xy}(z) < f(z) + \varepsilon\}$ 는 $g_{xy}$ 와 $f$ 의 연속성에 의해 열린집합이며, $g_{xy}(y) = f(y)$ 이므로 $y \in U_y$ 입니다. 따라서 $\{U_y : y \in K\}$ 는 콤팩트 집합 $K$ 의 열린 덮개이므로, 유한 부분덮개 $U_{y_1}, \dots, U_{y_m}$ 이 존재합니다. 앞 문제의 격자 성질에 의해 $g_x := \min_j g_{xy_j} \in \mathcal{A}$ 이며, 모든 $j$ 에 대해 $g_{xy_j} < f + \varepsilon$ 이므로 $g_x \le f + \varepsilon$ 이 $K$ 전체에서 성립합니다. 또한 모든 $j$ 에서 $g_{xy_j}(x) = f(x)$ 이므로 $g_x(x) = f(x)$ 입니다.
(c) 아래에서 올리기: 각 $x \in K$ 에 대해 $V_x := \{z : g_x(z) > f(z) - \varepsilon\}$ 는 열린집합이며, $g_x(x) = f(x)$ 이므로 $x \in V_x$ 입니다. $\{V_x\}$ 는 $K$ 의 열린 덮개이므로 유한 부분덮개 $V_{x_1}, \dots, V_{x_l}$ 이 존재합니다. $h := \max_i g_{x_i} \in \mathcal{A}$ (격자 성질)라 두면, 모든 $z \in K$ 에 대해 $z \in V_{x_i}$ 인 $i$ 가 있어 $h(z) \ge g_{x_i}(z) > f(z) - \varepsilon$ 이며, (b)에서 $g_{x_i} \le f + \varepsilon$ 이므로 $h \le f + \varepsilon$ 입니다. 즉 $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$ 가 $K$ 위에서 성립합니다.
$\varepsilon > 0$ 이 임의였으므로 $f \in \overline{\mathcal{A}}$ 입니다. $f \in C(K, \mathbb{R})$ 도 임의였으므로 $\overline{\mathcal{A}} = C(K, \mathbb{R})$ — $\mathcal{A}$ 는 균등 조밀합니다. 수치 확인: $f(x) = |x|$ , 삼각다항식 $\mathcal{T}$ 에 대해 차수 $n = 25$ 에서 $\lVert S_{25} - f\rVert_\infty \approx 0.0245$ 로 캡션과 일치하며, 차수를 올리면 이 오차가 0으로 갑니다 ( $n = 40$ 에서 $0.0159$ ).

스톤-바이어슈트라스 정리

예제