아르첼라-아스콜리 정리

연속함수들의 집합이 균등수렴하는 부분수열을 품을 조건 — 균등 유계와 동등연속이면 대각선 논증으로 균등수렴 부분수열을 뽑아냅니다. xnx^n은 왜 안 되는지 대비해 보세요.

F⊂C(K) relatively compactF \subset C(K)\ \text{relatively compact}
  ⟺  uniformly bounded+equicontinuous\iff \text{uniformly bounded} + \text{equicontinuous}
∥fak−f∗∥∞=1k+2→0\|f_{a_k} - f^*\|_\infty = \frac{1}{k+2} \to 0

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

KK를 컴팩트 거리공간, F⊂C(K)F \subset C(K)를 상한 노름에서 상대 컴팩트라고 하자. 유한 ε/3\varepsilon/3-net을 이용해 FF가 등연속임을 증명하세요 (힌트: 각 net 원소는 컴팩트 KK 위에서 균등연속).

∣f(x)−f(y)∣≤∥f−gj∥∞+∣gj(x)−gj(y)∣+∥gj−f∥∞<ε\lvert f(x) - f(y) \rvert \le \lVert f - g_j \rVert_\infty + \lvert g_j(x) - g_j(y) \rvert + \lVert g_j - f \rVert_\infty < \varepsilon
멤버 6개: 상한 오차 13→14→15→16→17→18=0.125\frac13 \to \frac14 \to \frac15 \to \frac16 \to \frac17 \to \frac18 = 0.125 — ∣ak∣≤34|a_k| \le \frac34인 32\frac32-Lipschitz 수열이 균등수렴합니다.
증명 보기
  1. 상대 컴팩트이면 완전 유계입니다: 임의의 ε>0\varepsilon > 0에 대해 폐포 F‾\overline{F}의 유한 ε/3\varepsilon/3-net {g1,…,gm}\{g_1, \dots, g_m\}이 존재합니다. 즉 모든 f∈Ff \in F에 대해 ∥f−gj∥∞<ε/3\lVert f - g_j \rVert_\infty < \varepsilon/3인 gjg_j가 있습니다. gjg_j는 FF에 속하지 않아도 됩니다 — 연속이기만 하면 됩니다.
  2. 각 gjg_j는 컴팩트 거리공간 KK 위에서 연속이므로 균등연속입니다 (Heine–Cantor): d(x,y)<δjd(x, y) < \delta_j이면 ∣gj(x)−gj(y)∣<ε/3\lvert g_j(x) - g_j(y) \rvert < \varepsilon/3인 δj>0\delta_j > 0이 존재합니다. δ=min⁡jδj>0\delta = \min_j \delta_j > 0으로 둡니다 — 이 δ\delta는 ff에 의존하지 않습니다.
  3. 이제 f∈Ff \in F와 d(x,y)<δd(x, y) < \delta인 x,yx, y를 봅니다. ∥f−gj∥∞<ε/3\lVert f - g_j \rVert_\infty < \varepsilon/3인 gjg_j를 고르면 삼각부등식으로 ∣f(x)−f(y)∣≤∣f(x)−gj(x)∣+∣gj(x)−gj(y)∣+∣gj(y)−f(y)∣<ε/3+ε/3+ε/3=ε\lvert f(x) - f(y) \rvert \le \lvert f(x) - g_j(x) \rvert + \lvert g_j(x) - g_j(y) \rvert + \lvert g_j(y) - f(y) \rvert < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon입니다. δ\delta가 모든 f∈Ff \in F에 공통이므로 FF는 등연속입니다.
  4. 덧붙여 상대 컴팩트는 균등 유계를 줍니다 (유계 집합의 폐포는 유계): M=sup⁡f∈F∥f∥∞<∞M = \sup_{f \in F} \lVert f \rVert_\infty < \infty. 역으로 컴팩트 KK 위에서는 점별 유계 + 등연속이면 균등 유계가 따라옵니다: ε=1\varepsilon = 1에 대한 등연속 δ\delta로 KK를 유한 δ\delta-net {y1,…,yr}\{y_1, \dots, y_r\}로 덮으면, 각 xx는 어떤 yiy_i에 δ\delta-근접하므로 ∣f(x)∣≤∣f(yi)∣+1≤max⁡isup⁡f∣f(yi)∣+1\lvert f(x) \rvert \le \lvert f(y_i) \rvert + 1 \le \max_i \sup_f \lvert f(y_i) \rvert + 1입니다.

KK를 컴팩트 거리공간, {xk}\{x_k\}를 KK의 가산 조밀 부분집합, (fn)(f_n)을 sup⁡n∥fn∥∞≤M\sup_n \lVert f_n \rVert_\infty \le M인 C(K)C(K)의 수열이라 하자. 대각선 논법으로 모든 xkx_k에서 수렴하는 부분수열을 구성하세요.

n(1)⊃n(2)⊃⋯(nested index sequences),mj=nj(j) (diagonal)n^{(1)} \supset n^{(2)} \supset \cdots \quad \text{(nested index sequences)}, \qquad m_j = n^{(j)}_j \ \text{(diagonal)}
멤버 6개: 진폭 ak=12+(−1)kk+2a_k = \frac12 + \frac{(-1)^k}{k+2}가 16,34,310,23,514,58\frac16, \frac34, \frac{3}{10}, \frac23, \frac{5}{14}, \frac58로 12\frac12를 오가며 접근 — 대각선 추출이 이런 진동 수열을 길어내는 방식입니다.
증명 보기
  1. 컴팩트 거리공간은 가분입니다 (각 rr에 대한 유한 1/r1/r-net의 합집합). 이제 수열 (fn)(f_n)을 봅니다. 각 kk에 대해 수열 (fn(xk))n(f_n(x_k))_n은 [−M,M][-M, M]에 갇힌 실수 수열이므로, Bolzano–Weierstrass 정리로 수렴하는 부분수열을 가집니다.
  2. 중첩된 지표 수열을 만듭니다: n1(1)<n2(1)<⋯n^{(1)}_1 < n^{(1)}_2 < \cdots에서 fnj(1)(x1)f_{n^{(1)}_j}(x_1)이 수렴하도록 고르고, 귀납적으로 n(k)n^{(k)}를 n(k−1)n^{(k-1)}의 부분수열이면서 fnj(k)(xk)f_{n^{(k)}_j}(x_k)가 수렴하도록 고릅니다. kk를 고정하면 n(k)n^{(k)} 이후의 모든 단계는 그 부분수열이므로, x1,…,xkx_1, \dots, x_k에서의 수렴이 유지됩니다.
  3. 대각선 mj=nj(j)m_j = n^{(j)}_j를 둡니다. kk를 고정하면, j≥kj \ge k인 꼬리 (mj)j≥k(m_j)_{j \ge k}는 (nj(k))(n^{(k)}_j)의 부분수열입니다 (중첩 구조 덕분에 mj=nj(j)m_j = n^{(j)}_j가 n(k)n^{(k)}의 항들 중에서 strictly increasing하게 뽑히기 때문). 따라서 fmj(xk)f_{m_j}(x_k)가 수렴합니다. kk가 임의였으므로 (fmj)(f_{m_j})는 모든 xkx_k에서 수렴합니다 — 조밀 집합 위의 점별 수렴입니다.
  4. 주의: 여기서는 점별 유계만 썼습니다. 이 점별 수렴을 KK 전체에서의 균등수렴으로 끌어올리는 것이 등연속의 역할이며, 다음 문제에서 ε/3\varepsilon/3 논증으로 수행합니다.

등연속인 점별 유계 수열 (fn)⊂C(K)(f_n) \subset C(K) (KK 컴팩트 거리공간)가 가산 조밀 집합 {xk}\{x_k\} 위에서 점별 수렴한다고 하자. ε/3\varepsilon/3 논증으로 이 수렴이 KK 전체에서 균등함을 증명하고, 따름정리로 (xn)(x^n)이 [0,1][0,1]에서 균등수렴하는 부분수열을 갖지 않음을 보이세요.

∣fmj(x)−fmℓ(x)∣≤ε3+ε3+ε3=ε(uniformly Cauchy)\lvert f_{m_j}(x) - f_{m_\ell}(x) \rvert \le \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} + \tfrac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \quad \text{(uniformly Cauchy)}
xn→{0x∈[0,1)1x=1(discontinuous pointwise limit)x^n \to \begin{cases} 0 & x \in [0, 1) \\ 1 & x = 1 \end{cases} \quad \text{(discontinuous pointwise limit)}
멤버 6개: ∥fak−f∗∥∞=1k+2\lVert f_{a_k} - f^* \rVert_\infty = \frac{1}{k+2}가 0으로 — 등연속성이 조밀 집합 위의 수렴을 전체 구간으로 퍼뜨린 결과입니다.
증명 보기
  1. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 등연속성에서 δ>0\delta > 0을 얻습니다: d(x,y)<δd(x, y) < \delta이면 모든 nn에 대해 ∣fn(x)−fn(y)∣<ε/3\lvert f_n(x) - f_n(y) \rvert < \varepsilon/3. KK가 컴팩트이므로 조밀 집합 {xk}\{x_k\} 중에서 유한 δ\delta-net xk1,…,xkrx_{k_1}, \dots, x_{k_r}을 뽑을 수 있습니다.
  2. 유한 개의 점 xkix_{k_i}에서는 점별 수렴이 "균등"해집니다: NN을 크게 잡아 j,ℓ≥Nj, \ell \ge N이면 모든 ii에 대해 ∣fmj(xki)−fmℓ(xki)∣<ε/3\lvert f_{m_j}(x_{k_i}) - f_{m_\ell}(x_{k_i}) \rvert < \varepsilon/3이 되도록 합니다 (유한 교집합).
  3. 임의의 x∈Kx \in K에 대해 d(x,xki)<δd(x, x_{k_i}) < \delta인 xkix_{k_i}를 고릅니다. 삼각부등식: ∣fmj(x)−fmℓ(x)∣≤∣fmj(x)−fmj(xki)∣+∣fmj(xki)−fmℓ(xki)∣+∣fmℓ(xki)−fmℓ(x)∣<ε/3+ε/3+ε/3=ε\lvert f_{m_j}(x) - f_{m_\ell}(x) \rvert \le \lvert f_{m_j}(x) - f_{m_j}(x_{k_i}) \rvert + \lvert f_{m_j}(x_{k_i}) - f_{m_\ell}(x_{k_i}) \rvert + \lvert f_{m_\ell}(x_{k_i}) - f_{m_\ell}(x) \rvert < \varepsilon/3 + \varepsilon/3 + \varepsilon/3 = \varepsilon. 따라서 (fmj)(f_{m_j})는 균등 Cauchy이므로, C(K)C(K)의 완비성에 의해 균등수렴합니다.
  4. 이로써 (⟸\Longleftarrow)가 완성됩니다: 점별 유계 + 등연속이면 (앞 문제의 언급대로) 균등 유계이고, 모든 수열이 균등수렴 부분수열을 가지므로, 거리공간에서의 순차 컴팩트성에 의해 집합은 상대 컴팩트입니다.
  5. 따름정리: (xn)(x^n)은 [0,1][0,1]에서 균등수렴하는 부분수열을 갖지 않습니다. 점별 극한은 [0,1)[0,1)에서 0, x=1x = 1에서 1로 불연속입니다. 만약 어떤 부분수열이 균등수렴했다면 그 극한은 연속함수들의 균등 극한이므로 연속이어야 하고, 점별 극한과 일치해야 하므로 모순입니다. 즉 {xn}\{x^n\}은 x=1x = 1에서 등연속이 아닙니다 — 씬의 대조군 차트가 보여주듯 서로 다른 두 항의 상한 거리는 0.47 이상으로 벌어진 채 남습니다.

5. 근사