5. 근사

연속함수를 다항식으로, 함수족을 균등수렴으로 — 근사 이론의 핵심 정리들입니다.

• 아르첼라-아스콜리 정리 — 연속함수들의 집합이 균등수렴하는 부분수열을 품을 조건 — 균등 유계와 동등연속이면 대각선 논증으로 균등수렴 부분수열을 뽑아냅니다. $x^n$은 왜 안 되는지 대비해 보세요.
• 바이어슈트라스 근사정리 — $[0,1]$ 위의 연속함수는 다항식으로 균등하게 근사됩니다 — 번스타인 다항식 $B_n(f)$가 $f$에 다가가는 모습을 $n$을 키우며 확인합니다. 수렴 증명의 세부 추정은 아이디어 수준에서만 봅니다.
• 스톤-바이어슈트라스 정리 — 점들을 분리하고 상수를 포함하는 부분대수는 균등하게 조밀합니다 — 원 위의 삼각다항식이 삼각파 $|x|$에 다가가며 대수적 다항식 없이 조밀성을 보여줍니다.
• 뮌츠-서스 정리 — $\sqrt{x}$를 최소제곱으로 근사하며 확인합니다 — 지수 $\lambda_n = n$인 조밀 기저 $\{1, x, \ldots, x^N\}$의 오차는 $0.1003 \to 0.0708 \to 0.0544$로 줄지만, $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty$인 희소 기저 $\{1, x, x^4, \ldots, x^{N^2}\}$의 오차는 $0.16$ 부근에 묶입니다.