멱급수와 수렴반경

멱급수가 어느 범위 안에서 수렴하고 밖에서 무너지는지를 봅니다.

중심에서 반경 안쪽은 안전지대입니다. 안에서는 절댓값을 씌워도 수렴합니다. 바깥에서는 항 자체가 0으로 가지 못합니다. 경계선 위의 점들은 저마다 운명이 다릅니다.

예를 들면, 🏠 집의 와이파이와 비슷해요. 집 안에서는 잘 터지고, 멀어지면 끊겨요. 현관 앞에서는 될 때도 있고 안 될 때도 있어서 직접 확인해야 해요.

1R=lim sup⁡n→∞∣an∣1/n\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}\lvert a_n\rvert^{1/n}
∑n=0∞xnn! has R=∞,∑n=0∞n! xn has R=0,∑n=0∞xn has R=1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\ \text{has}\ R=\infty,\quad \sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n\ \text{has}\ R=0,\quad \sum_{n=0}^{\infty}x^n\ \text{has}\ R=1

예제

∑n=0∞xn/n!\sum_{n=0}^{\infty} x^n/n!의 수렴반경이 ∞\infty임을 비율 판정법으로 증명하세요.

∣an+1an∣=1n+1→0\left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_n}\right\rvert = \frac{1}{n+1} \to 0
x=2x = 2, N=20N = 20 — 항이 급격히 작아지며 S20(2)≈e2S_{20}(2) \approx e^2에 모입니다.
증명 보기

  1. 항을 tn=xn/n!t_n = x^n/n!이라 두자. x≠0x \ne 0일 때 이웃한 항의 비율은 ∣tn+1tn∣=∣x∣n+1\left\lvert \frac{t_{n+1}}{t_n} \right\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{n+1}이다.

  2. ∣x∣n+1→0<1\frac{\lvert x\rvert}{n+1} \to 0 < 1이므로, 비율 판정법으로 모든 x≠0x \ne 0에 대해 ∑∣tn∣\sum \lvert t_n\rvert이 수렴한다. 즉 급수는 절대 수렴한다.

    ∣tn+1tn∣=∣x∣n+1⟶0<1\left\lvert\frac{t_{n+1}}{t_n}\right\rvert = \frac{\lvert x\rvert}{n+1} \longrightarrow 0 < 1

  3. x=0x = 0에서는 급수가 1+0+0+⋯=11 + 0 + 0 + \cdots = 1이 되어 수렴한다.

  4. 따라서 급수는 모든 실수 xx에서 절대 수렴하므로 수렴반경은 R=∞R = \infty이다. (Cauchy–Hadamard: 1R=lim sup⁡∣1/n!∣1/n=0\frac{1}{R} = \limsup \lvert 1/n!\rvert^{1/n} = 0.)

∑n=0∞n! xn\sum_{n=0}^{\infty} n!\,x^n의 수렴반경이 00임을 증명하세요.

∣(n+1)! xn+1n! xn∣=(n+1)∣x∣→∞\left\lvert\frac{(n+1)!\,x^{n+1}}{n!\,x^n}\right\rvert = (n+1)\lvert x\rvert \to \infty
x=0.5x = 0.5, N=10N = 10 — 항이 커지기만 하며 부분합이 폭발합니다.
증명 보기

  1. 항을 tn=n! xnt_n = n!\,x^n이라 두자. x≠0x \ne 0일 때 ∣tn+1tn∣=(n+1)∣x∣→∞\left\lvert \frac{t_{n+1}}{t_n} \right\rvert = (n+1)\lvert x\rvert \to \infty이다.

  2. 특히 어떤 NN이 있어 n≥Nn \ge N이면 ∣tn+1∣≥2∣tn∣\lvert t_{n+1}\rvert \ge 2\lvert t_n\rvert이다.

    x≠0x \ne 0이므로 tN≠0t_N \ne 0이고, 귀납법으로 ∣tN+k∣≥2k∣tN∣\lvert t_{N+k}\rvert \ge 2^k\lvert t_N\rvert (k≥0k \ge 0)를 얻으므로 ∣tn∣→∞\lvert t_n\rvert \to \infty이다.

    따라서 항이 00으로 가지 않으므로 급수는 발산한다(발산 판정법).

  3. x=0x = 0에서는 급수가 1+0+0+⋯=11 + 0 + 0 + \cdots = 1이 되어 수렴한다.

  4. 급수는 x=0x = 0에서만 수렴하므로 수렴반경은 R=0R = 0이다.

∑n=0∞xn\sum_{n=0}^{\infty} x^n의 수렴반경이 11이고, 양 끝점 x=±1x=\pm 1에서 발산함을 증명하세요.

R=1,1n↛0,(−1)n↛0R = 1,\quad 1^n \not\to 0,\quad (-1)^n \not\to 0
x=1x = 1, N=20N = 20 — 항이 항상 11이라 부분합이 2121까지 직선으로 자랍니다.
증명 보기

  1. x=0x = 0에서는 급수가 1+0+0+⋯=11 + 0 + 0 + \cdots = 1이 되어 자명하게 수렴합니다(항은 상수항을 빼고 모두 00).

    이제 x≠0x \ne 0이라 두고 비율 판정법을 ∣x∣n\lvert x\rvert^n에 적용하면 ∣x∣n+1∣x∣n=∣x∣\frac{\lvert x\rvert^{n+1}}{\lvert x\rvert^n} = \lvert x\rvert이다(x=0x = 0에서는 이 비율이 0/00/0이라 따로 다룬 것이다).

    ∣x∣<1\lvert x\rvert < 1이면 수렴하고 ∣x∣>1\lvert x\rvert > 1이면 항이 무한대로 커져 발산하므로 수렴반경은 R=1R = 1이다.

  2. 끝점 x=1x = 1에서는 항이 1n=1↛01^n = 1 \not\to 0이므로 발산 판정법으로 급수가 발산한다.

  3. 끝점 x=−1x = -1에서는 항이 (−1)n↛0(-1)^n \not\to 0이므로 역시 발산 판정법으로 급수가 발산한다.

  4. 따라서 수렴반경은 11이며, 양 끝점 모두에서 발산한다 — 경계에서는 따로따로 따져야 한다.

8. 거듭제곱급수