이상적분

끝이 무한히 뻗거나 높이가 폭발하는 구간의 적분을 봅니다. 지수 p가 수렴과 발산을 가릅니다.

무한히 이어져도 넓이가 유한할 수 있습니다. 꼬리가 충분히 빨리 가늘어지면 됩니다. 너무 두꺼우면 넓이는 끝없이 쌓입니다.

예를 들면, 💧 물이 새는 양이 빠르게 줄어들면 영원히 새어도 전체 양은 한 바가지로 정해져요. 줄어드는 속도가 느리면 바가지는 결국 넘쳐요.

∫1∞dxxp=1p−1  (p>1)\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^p} = \frac{1}{p-1}\ \ (p>1)
∫01dxx=2\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

∫1∞dxx2=1\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = 1을 직접 계산하세요.

∫1Rdxx2=1−1R→1\int_1^R \frac{dx}{x^2} = 1 - \frac{1}{R} \to 1
p=2,R=20p=2, R=20: 넓이 0.950.95가 11을 향해 다가갑니다.
증명 보기

  1. ∫1Rx−2 dx=[−x−1]1R=1−1R\int_1^R x^{-2}\,dx = \left[-x^{-1}\right]_1^R = 1 - \frac{1}{R}입니다.

  2. R→∞R \to \infty이면 1R→0\frac{1}{R} \to 0이므로 넓이는 11로 수렴합니다. R=20R = 20에서 1−120=0.951 - \frac{1}{20} = 0.95 — 캡션의 수치와 일치합니다.

p≤1p \leq 1일 때 ∫1∞dxxp\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}가 발산함을 증명하세요.

∫1Rdxx=ln⁡R→∞\int_1^R \frac{dx}{x} = \ln R \to \infty
p=1p=1: 넓이가 ln⁡R\ln R처럼 끝없이 자랍니다.
증명 보기

  1. p=1p = 1: ∫1Rdxx=ln⁡R→∞\int_1^R \frac{dx}{x} = \ln R \to \infty (R→∞R \to \infty). R=50R = 50에서 넓이는 ln⁡50≈3.912\ln 50 \approx 3.912입니다.

  2. p<1p < 1: ∫1Rx−p dx=R1−p−11−p\int_1^R x^{-p}\,dx = \frac{R^{1-p}-1}{1-p}이고 1−p>01 - p > 0이므로 R→∞R \to \infty일 때 ∞\infty로 발산합니다.

∫01dxx=2\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2를 특이점에서의 극한으로 계산하세요.

∫ε1x−1/2 dx=2−2ε→2\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = 2 - 2\sqrt{\varepsilon} \to 2
p=1/2,ε=0.01p=1/2, \varepsilon=0.01: 넓이 1.81.8이 22로 다가갑니다.
증명 보기

  1. ∫ε1x−1/2 dx=[2x]ε1=2−2ε\int_\varepsilon^1 x^{-1/2}\,dx = \left[2\sqrt{x}\right]_\varepsilon^1 = 2 - 2\sqrt{\varepsilon}입니다.

  2. ε→0+\varepsilon \to 0^+이면 ε→0\sqrt{\varepsilon} \to 0이므로 넓이는 22로 수렴합니다. ε=0.01\varepsilon = 0.01에서 2−20.01=2−0.2=1.82 - 2\sqrt{0.01} = 2 - 0.2 = 1.8 — 캡션의 수치와 일치합니다.

11. 적분