조임 정리

두 수열 사이에 낀 수열을 봅니다. 양쪽이 같은 값으로 가면 가운데도 따라갑니다.

가운데 수열은 직접 잴 필요가 없습니다. 양쪽 경비가 같은 문으로 들어가면, 그 사이에 있는 것은 같이 들어갈 수밖에 없습니다. 진동하는 수열도 이 방법으로 잡습니다. ∣sin⁡n∣≤1|\sin n| \le 1이라 sin⁡nn\frac{\sin n}{n}은 ±1n\pm\frac{1}{n} 사이에 갇히고, 양쪽이 0으로 가니 가운데도 0으로 갑니다.

예를 들면, 🧍 복도를 걷는 사람이 있습니다. 양쪽 벽이 점점 좁아져 한 점으로 모이면, 그 사람은 벽을 뚫지 않는 한 같은 점으로 갈 수밖에 없습니다.

an≤bn≤cn∀na_n \le b_n \le c_n \quad \forall n
an→L, cn→L ⟹ bn→La_n \to L, \ c_n \to L \ \Longrightarrow \ b_n \to L

예제

조임 정리를 완전히 증명하세요: 모든 nn에 대해 an≤bn≤cna_n \le b_n \le c_n이고 an→La_n \to L, cn→Lc_n \to L이면 bn→Lb_n \to L입니다.

an≤bn≤cn,an→L, cn→L ⟹ bn→La_n \le b_n \le c_n, \quad a_n \to L, \ c_n \to L \ \Longrightarrow \ b_n \to L
sin⁡nn\frac{\sin n}{n} — 양쪽 경비가 0으로 좁혀집니다.
증명 보기

  1. ε>0\varepsilon > 0이 주어졌다고 하자. an→La_n \to L이므로 어떤 N1N_1이 있어 n>N1n > N_1이면 ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon, 즉 L−ε<anL - \varepsilon < a_n입니다. 마찬가지로 cn→Lc_n \to L이므로 어떤 N2N_2가 있어 n>N2n > N_2이면 cn<L+εc_n < L + \varepsilon입니다.

  2. N=max⁡(N1,N2)N = \max(N_1, N_2)라 두자. n>Nn > N이면 두 조건이 동시에 성립하고 끼인 부등식과 합치면 L−ε<an≤bn≤cn<L+εL - \varepsilon < a_n \le b_n \le c_n < L + \varepsilon입니다. 따라서 ∣bn−L∣<ε|b_n - L| < \varepsilon입니다.

  3. ε\varepsilon은 임의였으므로 bn→Lb_n \to L입니다. 증명이 완료됩니다.

조임 정리로 lim⁡n→∞sin⁡nn=0\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0임을 완전히 증명하세요.

−1n≤sin⁡nn≤1n-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}
항을 늘리면 진동하면서도 0으로 좁혀집니다.
증명 보기

  1. 모든 실수 tt에 대해 ∣sin⁡t∣≤1|\sin t| \le 1입니다. n≥1n \ge 1에서 양변을 nn으로 나누면 −1n≤sin⁡nn≤1n-\frac{1}{n} \le \frac{\sin n}{n} \le \frac{1}{n}입니다.

  2. 양쪽 끝은 모두 0으로 갑니다: 1n→0\frac{1}{n} \to 0이고 −1n→0-\frac{1}{n} \to 0입니다 (아르키메데스 따름정리). 조임 정리를 적용하면 sin⁡nn→0\frac{\sin n}{n} \to 0입니다.

조임 정리로 lim⁡n→∞n+(−1)nn=1\lim_{n \to \infty} \frac{n + (-1)^n}{n} = 1임을 완전히 증명하세요.

n−1n≤n+(−1)nn≤n+1n\frac{n - 1}{n} \le \frac{n + (-1)^n}{n} \le \frac{n + 1}{n}
진동 항이 있어도 비율은 1로 좁혀집니다.
증명 보기

  1. (−1)n(-1)^n은 −1-1과 11 사이이므로 −1≤(−1)n≤1-1 \le (-1)^n \le 1입니다. nn을 더하고 nn으로 나누면 n−1n≤n+(−1)nn≤n+1n\frac{n - 1}{n} \le \frac{n + (-1)^n}{n} \le \frac{n + 1}{n}입니다.

  2. 왼쪽 끝은 n−1n=1−1n→1\frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n} \to 1이고, 오른쪽 끝은 n+1n=1+1n→1\frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1입니다. 조임 정리로 가운데도 1로 갑니다.

3. 수열