수열공간과 함수공간

수열들을 한곳에 모아 놓은 공간을 봅니다. 수열 하나하나가 이 공간에서는 점이 됩니다.

수열끼리 더하고 곱할 수 있어서 벡터공간입니다. 두 수열 사이의 거리도 잴 수 있습니다. 재는 방법에 따라 들어갈 수 있는 공간이 달라집니다. 절댓값의 합이 유한하면 가장 작은 공간에 들어갑니다. 제곱해서 더한 합이 유한하면 중간 공간입니다. 그냥 유계이면 가장 큰 공간에 들어갑니다. 그래서 작은 공간이 큰 공간 안에 쏙 들어갑니다. 거리를 주는 노름이 두 세계를 잇는 다리입니다. 이 공간들이 완비라는 사실은 알려진 정리로만 언급합니다.

예를 들면, 📦 상자 세 개가 겹쳐 놓여 있습니다. 작은 상자에 든 물건은 중간 상자에도, 큰 상자에도 들어갑니다. 수열 공간도 이렇게 작은 것이 큰 것 안에 포함됩니다.

ℓ1={x:∑∣xn∣<∞},ℓ2={x:∑∣xn∣2<∞},ℓ∞={x:sup⁡∣xn∣<∞}\ell^1 = \{x : \sum |x_n| < \infty\}, \quad \ell^2 = \{x : \sum |x_n|^2 < \infty\}, \quad \ell^\infty = \{x : \sup |x_n| < \infty\}
∥x∥1=∑∣xn∣,∥x∥2=(∑∣xn∣2)1/2,∥x∥∞=sup⁡n∣xn∣\|x\|_1 = \sum |x_n|, \quad \|x\|_2 = \left(\sum |x_n|^2\right)^{1/2}, \quad \|x\|_\infty = \sup_n |x_n|
ℓ1⊂ℓ2⊂ℓ∞,d(x,y)=∥x−y∥\ell^1 \subset \ell^2 \subset \ell^\infty, \qquad d(x, y) = \|x - y\|

예제

(1,1/2,1/3,… )(1, 1/2, 1/3, \dots)가 ℓ2\ell^2에는 속하지만 ℓ1\ell^1에는 속하지 않음을 증명하세요.

∑n=1∞1n2=π26<∞\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} < \infty
∑n=1∞1n=∞\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty
α=1\alpha = 1 — ℓ2\ell^2에는 들고 ℓ1\ell^1에는 안 든다.
증명 보기

  1. xn=1/nx_n = 1/n이라 두자. ∑n=1∞xn2=∑n=1∞1/n2=π2/6<∞\sum_{n=1}^{\infty} x_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 < \infty이므로, 제곱합이 유한 — 즉 x∈ℓ2x \in \ell^2이다.

    (값 ∑1/n2=π2/6\sum 1/n^2 = \pi^2/6은 muntz-szasz 씬에서 Parseval로 증명되며, 수렴 자체는 급수 단원의 적분판정법으로도 얻어진다.)

  2. 반면 조화급수 ∑n=1∞∣xn∣=∑n=1∞1/n=∞\sum_{n=1}^{\infty} |x_n| = \sum_{n=1}^{\infty} 1/n = \infty는 발산하므로 x∉ℓ1x \notin \ell^1이다. (발산은 Oresme의 묶음 논증이다: 블록 1/(2k+1)+⋯+1/2k+11/(2^k+1) + \cdots + 1/2^{k+1}은 항이 2k2^k개이고 각 항이 ≥1/2k+1\ge 1/2^{k+1}이라 합이 ≥1/2\ge 1/2이다; 급수 단원에서 증명된다.)

  3. 따라서 (1,1/2,1/3,… )∈ℓ2∖ℓ1(1, 1/2, 1/3, \dots) \in \ell^2 \setminus \ell^1 — 제곱하면 수렴하는데 절댓값으로는 안 모이는 수열이 존재한다. 이것이 ℓ1⊊ℓ2\ell^1 \subsetneq \ell^2의 핵심 예시다.

ℓ1⊂ℓ2\ell^1 \subset \ell^2임을 증명하세요.

∑∣xn∣<∞  ⟹  ∑xn2<∞\sum |x_n| < \infty \implies \sum x_n^2 < \infty
α=1.5>1\alpha = 1.5 > 1 — ℓ1\ell^1에 들면 자동으로 ℓ2\ell^2에도 든다.
증명 보기

  1. x∈ℓ1x \in \ell^1이라 하자. ∑∣xn∣<∞\sum |x_n| < \infty이므로 ∣xn∣→0|x_n| \to 0 — 따라서 ∣xn∣<1|x_n| < 1인 NN이 존재한다 (n≥Nn \geq N).

  2. n≥Nn \geq N에서 xn2=∣xn∣⋅∣xn∣≤∣xn∣⋅1=∣xn∣x_n^2 = |x_n| \cdot |x_n| \leq |x_n| \cdot 1 = |x_n|이다 — 작은 수의 제곱은 원래 수보다 작다.

  3. 따라서 ∑n≥Nxn2≤∑n≥N∣xn∣≤∑∣xn∣<∞\sum_{n \geq N} x_n^2 \leq \sum_{n \geq N} |x_n| \leq \sum |x_n| < \infty이다. 앞의 유한 개 항은 수렴성에 영향을 주지 않으므로 ∑xn2<∞\sum x_n^2 < \infty — 즉 x∈ℓ2x \in \ell^2이다.

d∞(x,y)=sup⁡n∣xn−yn∣d_\infty(x, y) = \sup_n |x_n - y_n|이 ℓ∞\ell^\infty 위의 거리임을 증명하세요.

d∞(x,y)=sup⁡n∣xn−yn∣d_\infty(x, y) = \sup_n |x_n - y_n|
p=∞p = \infty — 단위 공이 정사각형이 된다.
증명 보기

  1. x,y∈ℓ∞x, y \in \ell^\infty이면 모든 nn에 대해 ∣xn−yn∣≤∣xn∣+∣yn∣≤∥x∥∞+∥y∥∞<∞|x_n - y_n| \le |x_n| + |y_n| \le \|x\|_\infty + \|y\|_\infty < \infty이므로 (∣xn−yn∣)(|x_n - y_n|)은 ∥x∥∞+∥y∥∞\|x\|_\infty + \|y\|_\infty로 유계이고, 상한이 존재하고 유한하다 — d∞(x,y)d_\infty(x, y)는 잘 정의되고 d∞(x,y)≥0d_\infty(x, y) \geq 0이다.

  2. d∞(x,y)=0d_\infty(x, y) = 0 ⟺ 모든 nn에 대해 ∣xn−yn∣=0|x_n - y_n| = 0 ⟺ x=yx = y이다. 대칭성 d∞(x,y)=d∞(y,x)d_\infty(x, y) = d_\infty(y, x)는 ∣xn−yn∣=∣yn−xn∣|x_n - y_n| = |y_n - x_n|에서 바로 나온다.

  3. 삼각 부등식: 각 nn에 대해 ∣xn−zn∣≤∣xn−yn∣+∣yn−zn∣≤d∞(x,y)+d∞(y,z)|x_n - z_n| \leq |x_n - y_n| + |y_n - z_n| \leq d_\infty(x, y) + d_\infty(y, z)이다. 우변이 nn에 무관하므로 상한을 취하면 d∞(x,z)≤d∞(x,y)+d∞(y,z)d_\infty(x, z) \leq d_\infty(x, y) + d_\infty(y, z)를 얻는다.

  4. 따라서 d∞d_\infty는 거리 공리를 모두 만족한다 — ℓ∞\ell^\infty는 거리공간이며, 이는 노름 ∥x∥∞=sup⁡n∣xn∣\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|이 만든 거리 d(x,y)=∥x−y∥d(x, y) = \|x - y\|와 같다.

3. 수열