단조수열과 코시수열

증가하면서 위로 막힌 수열이 꼭대기에 닿는 장면입니다. 꼬리가 한 점으로 조여드는 모습도 함께 봅니다.

위로 막혀 있으면 갈 곳은 가장 높은 자리뿐입니다. 그 자리가 상한이고 수열은 상한에 수렴합니다. 꼬리만 잘라 보면 남은 항들의 퍼짐이 점점 줄어듭니다. 퍼짐이 0으로 사라지는 수열이 코시수열입니다. 수렴하는 수열은 전부 코시수열입니다.

예를 들면, 🐷 저금통에 목표액의 절반, 남은 절반의 절반을 계속 넣습니다. 쌓인 돈은 목표에 점점 가까워지지만 한 번에 닿지는 않습니다. 뒤에 넣은 동전들끼리의 차이도 점점 작아집니다.

an=1−2−n↑1a_n = 1 - 2^{-n} \uparrow 1
max⁡m,k≥N∣am−ak∣→0\max_{m,k \geq N} \lvert a_m - a_k\rvert \to 0

예제

an=1−1na_n = 1 - \frac{1}{n}이 증가수열이며 sup⁡=1\sup = 1임을 보이고, 단조수렴 정리로부터 an→1a_n \to 1을 결론지으세요.

an+1−an=1n(n+1)>0,sup⁡an=1a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n(n+1)} > 0, \qquad \sup a_n = 1
n=8n = 8항: 이 문제의 수열에서는 a8=1−18=0.875a_8 = 1 - \frac{1}{8} = 0.875입니다. 장면이 표시하는 수열은 1−2−n1 - 2^{-n} (n=8n = 8에서 0.996093750.99609375)으로, 같은 방식으로 11에 다가갑니다.
증명 보기

  1. (단조성) an+1−an=(1−1n+1)−(1−1n)=1n−1n+1=1n(n+1)>0a_{n+1} - a_n = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right) - \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} > 0이므로 증가수열입니다.

  2. (유계) 모든 nn에 대해 an=1−1n<1a_n = 1 - \frac{1}{n} < 1이므로 11은 상계입니다. u<1u < 1인 임의의 실수에 대해 1−1n>u  ⟺  n>11−u1 - \frac{1}{n} > u \iff n > \frac{1}{1-u}인데, 아르키메데스 성질에 의해 그런 nn이 존재하므로 uu는 상계가 아닙니다.

    따라서 sup⁡an=1\sup a_n = 1입니다.

  3. 단조수렴 정리(인용)에 의해 증가·위로 유계인 수열은 상한으로 수렴하므로, an→1a_n \to 1입니다.

  4. 수치 확인: n=40n = 40이면 a40=1−140=0.975a_{40} = 1 - \frac{1}{40} = 0.975로, 이미 극한 11에서 0.0250.025 안에 들어옵니다.

모든 코시수열이 유계임을 증명하세요.

m≥N⇒∣am∣≤∣aN∣+1m \geq N \Rightarrow \lvert a_m\rvert \leq \lvert a_N\rvert + 1
꼬리 시작 66 — NN 이후의 꼬리는 반지름 11짜리 띠 안에 갇힙니다.
증명 보기

  1. (an)(a_n)이 코시수열이라 하자. ε=1\varepsilon = 1에 대해 m,n≥Nm, n \geq N이면 ∣am−an∣<1\lvert a_m - a_n\rvert < 1인 NN이 존재합니다.

    이 NN을 고정합니다.

  2. m≥Nm \geq N이면 삼각부등식으로 ∣am∣≤∣aN∣+∣am−aN∣<∣aN∣+1\lvert a_m\rvert \leq \lvert a_N\rvert + \lvert a_m - a_N\rvert < \lvert a_N\rvert + 1입니다 — 꼬리 전체가 하나의 수로 묶입니다.

  3. 앞부분 a1,…,aN−1a_1, \dots, a_{N-1}은 유한 개이므로, M=max⁡(∣a1∣,…,∣aN−1∣,∣aN∣+1)M = \max(\lvert a_1\rvert, \dots, \lvert a_{N-1}\rvert, \lvert a_N\rvert + 1)이라 두면 모든 nn에 대해 ∣an∣≤M\lvert a_n\rvert \leq M입니다. 따라서 (an)(a_n)은 유계입니다.

  4. 수치 확인: 이 장면의 수열 an=1−2−na_n = 1 - 2^{-n}에서는 ε=1\varepsilon = 1에 대해 N=1N = 1로 충분하고(∣am−a1∣<12<1\lvert a_m - a_1\rvert < \frac12 < 1), M=∣a1∣+1=1.5M = \lvert a_1\rvert + 1 = 1.5가 전체를 묶습니다.

부분합 sN=∑k=1N2−ks_N = \sum_{k=1}^{N} 2^{-k}가 코시수열임을 증명하세요.

sN=1−2−N,∣sm−sn∣=2−n−2−m<2−ns_N = 1 - 2^{-N}, \qquad \lvert s_m - s_n\rvert = 2^{-n} - 2^{-m} < 2^{-n}
부분합이 바로 이 장면의 수열입니다: ∑k=1n2−k=1−2−n\sum_{k=1}^{n} 2^{-k} = 1 - 2^{-n}.
증명 보기

  1. 등비급수 합: (1−12)∑k=1N2−k=∑k=1N(2−k−2−(k+1))=12−2−(N+1)(1 - \frac12)\sum_{k=1}^{N} 2^{-k} = \sum_{k=1}^{N}(2^{-k} - 2^{-(k+1)}) = \frac12 - 2^{-(N+1)} (망원합)이므로, sN=1−2−Ns_N = 1 - 2^{-N}입니다.

  2. m>nm > n이면 같은 망원합으로 sm−sn=∑k=n+1m2−k=2−n−2−ms_m - s_n = \sum_{k=n+1}^{m} 2^{-k} = 2^{-n} - 2^{-m}이므로, ∣sm−sn∣=2−n−2−m<2−n\lvert s_m - s_n\rvert = 2^{-n} - 2^{-m} < 2^{-n}입니다.

  3. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 2−N<ε2^{-N} < \varepsilon인 NN을 잡습니다 (N>log⁡21εN > \log_2 \frac{1}{\varepsilon}). m,n≥Nm, n \geq N이라 합시다.

    m=nm = n이면 ∣sm−sn∣=0<ε\lvert s_m - s_n\rvert = 0 < \varepsilon입니다. 그 외의 경우 대칭성 ∣sm−sn∣=∣sn−sm∣\lvert s_m - s_n\rvert = \lvert s_n - s_m\rvert에 의해 일반성을 잃지 않고 m>nm > n이라 둘 수 있고, 2단계에서 ∣sm−sn∣<2−n≤2−N<ε\lvert s_m - s_n\rvert < 2^{-n} \le 2^{-N} < \varepsilon를 얻습니다. 따라서 (sN)(s_N)은 코시수열입니다.

  4. 수치 확인: 꼬리 시작 44, 인덱스 ≤12\leq 12에서 꼬리 지름은 2−4−2−12=0.0625−0.000244140625=0.0622558593752^{-4} - 2^{-12} = 0.0625 - 0.000244140625 = 0.062255859375 — 장면의 판독값과 일치합니다.

3. 수열