상극한과 하극한

수열의 꼬리만 보고 가장 높은 값과 가장 낮은 값을 살핍니다. 둘이 어디에 안착하는지 확인하는 장면입니다.

꼬리의 상한은 점점 내려오고 하한은 점점 올라옵니다. 위쪽 안착점이 상극한, 아래쪽이 하극한입니다. 두 값이 만나면 극한이 존재합니다. 진동하는 수열에서는 둘이 영원히 떨어져 있습니다. 정확한 정의는 아래 식과 같습니다.

예를 들면, 🌡️ 온도계로 매일 최고 온도와 최저 온도를 적습니다. 날이 갈수록 최고값은 한 값 근처로, 최저값은 다른 값 근처로 모입니다. 두 값이 같아지면 날씨가 한 온도로 정해진 셈입니다.

lim sup⁡an=lim⁡N→∞sup⁡n≥Nan\limsup a_n = \lim_{N\to\infty}\sup_{n\ge N} a_n
lim inf⁡an=lim⁡N→∞inf⁡n≥Nan\liminf a_n = \lim_{N\to\infty}\inf_{n\ge N} a_n
lim sup⁡an=lim inf⁡an  ⟺  lim⁡an exists\limsup a_n = \liminf a_n \iff \lim a_n \text{ exists}

예제

수열 an=(−1)n(1+1n)a_n = (-1)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)의 lim sup⁡an\limsup a_n과 lim inf⁡an\liminf a_n을 구하세요.

a2k=1+12k→1,a2k+1=−(1+12k+1)→−1a_{2k} = 1+\frac{1}{2k} \to 1, \qquad a_{2k+1} = -\left(1+\frac{1}{2k+1}\right) \to -1
n=24n=24: 짝수항 a24=2524≈1.0417a_{24} = \frac{25}{24} \approx 1.0417, 홀수항 a23=−2423≈−1.0435a_{23} = -\frac{24}{23} \approx -1.0435.
증명 보기

  1. 짝수 부분수열 a2k=1+12ka_{2k} = 1+\frac{1}{2k}는 11로 감소하며 수렴합니다 (a2=1.5a_2 = 1.5에서 시작).

  2. 홀수 부분수열 a2k+1=−(1+12k+1)a_{2k+1} = -\left(1+\frac{1}{2k+1}\right)는 −1-1로 증가하며 수렴합니다 (a3=−43a_3 = -\frac{4}{3}에서 시작).

  3. 꼬리 상한을 직접 계산합니다.

    sup⁡n≥Nan=max⁡(sup⁡n≥Nn 짝수an,  sup⁡n≥Nn 홀수an)\sup_{n \ge N} a_n = \max\left(\sup_{\substack{n \ge N \\ n \text{ 짝수}}} a_n,\; \sup_{\substack{n \ge N \\ n \text{ 홀수}}} a_n\right)입니다.

    짝수 꼬리에서는 a2k=1+12k↓1a_{2k} = 1 + \frac{1}{2k} \downarrow 1이므로 sup⁡짝수 ≥Nan=1+12⌈N/2⌉\sup_{\text{짝수 } \ge N} a_n = 1 + \frac{1}{2\lceil N/2 \rceil}입니다.

    홀수 꼬리에서는 모든 항이 −1-1 이하이므로 sup⁡홀수 ≥Nan≤−1<1\sup_{\text{홀수 } \ge N} a_n \le -1 < 1입니다.

    따라서 max⁡\max는 짝수 쪽이 결정하고 sup⁡n≥Nan=1+12⌈N/2⌉\sup_{n \ge N} a_n = 1 + \frac{1}{2\lceil N/2 \rceil}입니다.

    ε>0\varepsilon > 0에 대해 N>1εN > \frac{1}{\varepsilon}이면 0≤sup⁡n≥Nan−1=12⌈N/2⌉≤1N<ε0 \le \sup_{n \ge N} a_n - 1 = \frac{1}{2\lceil N/2 \rceil} \le \frac{1}{N} < \varepsilon — 즉 sup⁡n≥Nan→1\sup_{n \ge N} a_n \to 1이므로 lim sup⁡an=1\limsup a_n = 1입니다.

  4. 하한도 대칭적입니다.

    inf⁡n≥Nan=min⁡(inf⁡짝수 ≥Nan,  inf⁡홀수 ≥Nan)\inf_{n \ge N} a_n = \min\left(\inf_{\text{짝수 } \ge N} a_n,\; \inf_{\text{홀수 } \ge N} a_n\right)에서 짝수 쪽은 inf⁡≥1>−1\inf \ge 1 > -1이고, 홀수 쪽은 a2k+1=−(1+12k+1)↑−1a_{2k+1} = -\left(1 + \frac{1}{2k+1}\right) \uparrow -1이므로 inf⁡홀수 ≥Nan=−(1+12⌊N/2⌋+1)\inf_{\text{홀수 } \ge N} a_n = -\left(1 + \frac{1}{2\lfloor N/2 \rfloor + 1}\right)입니다.

    따라서 inf⁡n≥Nan=−(1+12⌊N/2⌋+1)→−1\inf_{n \ge N} a_n = -\left(1 + \frac{1}{2\lfloor N/2 \rfloor + 1}\right) \to -1이고 lim inf⁡an=−1\liminf a_n = -1입니다.

lim⁡an=L\lim a_n = L이 존재하면 lim sup⁡an=lim inf⁡an=L\limsup a_n = \liminf a_n = L임을 증명하세요.

L−ε<an<L+ε(n≥N)  ⟹  L−ε≤lim inf⁡an≤lim sup⁡an≤L+εL-\varepsilon < a_n < L+\varepsilon \quad (n \ge N) \implies L-\varepsilon \le \liminf a_n \le \limsup a_n \le L+\varepsilon
n=24n=24: 이 장면의 수열은 수렴하지 않아 lim sup⁡=1\limsup = 1과 lim inf⁡=−1\liminf = -1이 다릅니다.
증명 보기

  1. 먼저 유계성: 수렴수열은 유계입니다 — ε=1\varepsilon = 1로 두면 n≥N0n \ge N_0일 때 ∣an−L∣<1|a_n - L| < 1인 N0N_0이 있어 꼬리에서는 ∣an∣≤∣L∣+1|a_n| \le |L| + 1이고, 앞의 유한 개 항은 그 최댓값으로 묶입니다.

    따라서 어떤 MM에 대해 모든 nn에서 ∣an∣≤M|a_n| \le M이며, 모든 꼬리 상한 sup⁡n≥Nan\sup_{n\ge N} a_n과 꼬리 하한 inf⁡n≥Nan\inf_{n\ge N} a_n은 유한하고 lim sup⁡an,lim inf⁡an\limsup a_n, \liminf a_n이 실수로서 잘 정의됩니다.

    이제 ε>0\varepsilon > 0이라 합시다.

    lim⁡an=L\lim a_n = L이므로 n≥Nn \ge N일 때 ∣an−L∣<ε|a_n - L| < \varepsilon인 NN이 존재하고, 즉 L−ε<an<L+εL - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon입니다.

  2. n≥Nn \ge N인 꼬리에 대해 상한과 하한을 취하면 L−ε≤inf⁡n≥Nan≤sup⁡n≥Nan≤L+εL - \varepsilon \le \inf_{n\ge N} a_n \le \sup_{n\ge N} a_n \le L + \varepsilon입니다. N→∞N \to \infty이면 L−ε≤lim inf⁡an≤lim sup⁡an≤L+εL - \varepsilon \le \liminf a_n \le \limsup a_n \le L + \varepsilon을 얻습니다.

  3. ε>0\varepsilon > 0은 임의이므로 lim inf⁡an=lim sup⁡an=L\liminf a_n = \limsup a_n = L입니다.

근 판정법을 증명하세요: ρ=lim sup⁡∣an∣1/n<1\rho = \limsup |a_n|^{1/n} < 1이면 ∑an\sum a_n은 절대수렴합니다.

ρ=lim sup⁡∣an∣1/n<1  ⟹  ∣an∣≤rn eventually  ⟹  ∑∣an∣ converges\rho = \limsup |a_n|^{1/n} < 1 \implies |a_n| \le r^n \text{ eventually} \implies \sum |a_n| \text{ converges}
n=24n=24: ∣a24∣1/24≈1.0017|a_{24}|^{1/24} \approx 1.0017이며 lim sup⁡∣an∣1/n=1\limsup |a_n|^{1/n} = 1 — 판정이 안 되는 경계입니다.
증명 보기

  1. ρ<r<1\rho < r < 1인 rr을 택합니다. ρ\rho는 꼬리 상한들의 극한이므로 n≥Nn \ge N일 때 ∣an∣1/n≤r|a_n|^{1/n} \le r, 즉 ∣an∣≤rn|a_n| \le r^n인 NN이 존재합니다.

  2. 모든 nn에 대해 ∣an∣1/n≥0|a_n|^{1/n} \ge 0이므로 ρ=lim sup⁡∣an∣1/n≥0\rho = \limsup |a_n|^{1/n} \ge 0입니다.

    따라서 택한 rr은 0≤ρ<r<10 \le \rho < r < 1을 만족하고 특히 0≤r<10 \le r < 1이므로, 등비급수 ∑rn\sum r^n은 수렴합니다.

    비교판정법으로 ∑∣an∣\sum |a_n|이 수렴하므로 ∑an\sum a_n은 절대수렴합니다.

3. 수열