중간값 정리

중간값 정리를 확인하는 씬입니다. 목표 높이를 움직이며, 그래프가 그 높이를 건너는 점을 찾습니다.

끊기지 않은 길은 중간을 건너뛸 수 없습니다. 낮은 곳에서 높은 곳으로 가면, 사이 높이를 어딘가에서 반드시 지납니다. 그래프가 끊기면 이 약속은 깨집니다.

예를 들면, 🌡️ 온도계 수은주를 보세요. 아침 10도에서 낮 20도로 오르는 동안, 15도를 반드시 지납니다. 수은주는 순간이동을 하지 않으니까요.

f(a)<c<f(b)⇒∃ ξ∈(a,b):f(ξ)=cf(a)<c<f(b)\Rightarrow\exists\,\xi\in(a,b):f(\xi)=c

예제

방정식 x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0이 구간 (0,1)(0,1) 안에 실근을 가짐을 중간값 정리로 보이세요.

f(0)=−1<0<1=f(1) ⟹ ∃ ξ∈(0,1): f(ξ)=0f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1) \ \Longrightarrow\ \exists\, \xi \in (0,1):\ f(\xi) = 0
c=0c = 0 — 곡선이 높이 00을 밟는 점 ξ≈0.6823\xi \approx 0.6823.
증명 보기

  1. f(x)=x3+x−1f(x) = x^3 + x - 1은 다항식이므로 [0,1][0,1]에서 연속입니다.

  2. f(0)=−1<0f(0) = -1 < 0이고 f(1)=1>0f(1) = 1 > 0입니다.

  3. 중간값 정리에 의해 f(ξ)=0f(\xi) = 0인 ξ∈(0,1)\xi \in (0,1)이 존재합니다 (f(0),f(1)≠0f(0), f(1) \neq 0이므로 ξ\xi는 열린 구간 안에 있습니다). 수치적으로 ξ≈0.6823278038\xi \approx 0.6823278038입니다.

방정식 sin⁡x=12\sin x = \frac12이 구간 (0,π2)(0, \frac{\pi}{2}) 안에 해를 가짐을 보이세요.

sin⁡0=0<12<1=sin⁡π2 ⟹ ∃ ξ: sin⁡ξ=12\sin 0 = 0 < \tfrac12 < 1 = \sin \tfrac{\pi}{2} \ \Longrightarrow\ \exists\, \xi:\ \sin \xi = \tfrac12
c=0.5c = 0.5 — 건너는 점은 ξ=π/6≈0.5236\xi = \pi/6 \approx 0.5236입니다.
증명 보기

  1. sin⁡x\sin x는 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}]에서 연속입니다.

  2. sin⁡0=0<12\sin 0 = 0 < \frac12이고 sin⁡π2=1>12\sin \frac{\pi}{2} = 1 > \frac12입니다.

  3. 중간값 정리에 의해 sin⁡ξ=12\sin \xi = \frac12인 ξ∈(0,π2)\xi \in (0, \frac{\pi}{2})가 존재합니다.

    이 증인은 유일합니다: 0≤x<y≤π20 \le x < y \le \frac{\pi}{2}이면 sin⁡y−sin⁡x=2cos⁡x+y2sin⁡y−x2>0\sin y - \sin x = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{y-x}{2} > 0인데, x+y2∈[0,π2)\frac{x+y}{2} \in [0, \frac{\pi}{2})라서 cos⁡x+y2>0\cos\frac{x+y}{2} > 0이고 y−x2∈(0,π4]\frac{y-x}{2} \in (0, \frac{\pi}{4}]라서 sin⁡y−x2>0\sin\frac{y-x}{2} > 0이기 때문입니다 — 즉 sin⁡\sin은 [0,π2][0, \frac{\pi}{2}]에서 엄격히 증가합니다.

    sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6} = \frac12이므로 유일성에 의해 ξ=π6\xi = \frac{\pi}{6}입니다.

함수 f(x)={0x<121x≥12f(x) = \begin{cases} 0 & x < \frac12 \\ 1 & x \geq \frac12 \end{cases} ([0,1][0,1]에서 정의)이 값 c=12c = \frac12를 취하지 않음을 직접 보이고, 중간값 정리의 어느 가설이 깨졌는지 말하세요.

f([0,1])={0,1}∌12f([0,1]) = \{0, 1\} \not\ni \tfrac12
연속인 경우 (c=0c = 0) — 이 가설이 빠지면 건너는 점이 없을 수 있습니다.
증명 보기

  1. x<12x < \frac12이면 f(x)=0≠12f(x) = 0 \neq \frac12이고, x≥12x \geq \frac12이면 f(x)=1≠12f(x) = 1 \neq \frac12입니다.

    따라서 어떤 xx에 대해서도 f(x)=12f(x) = \frac12가 될 수 없습니다.

    그런데도 f(0)=0<12<1=f(1)f(0) = 0 < \frac12 < 1 = f(1)입니다.

  2. 깨진 가설은 x=12x = \frac12에서의 연속성입니다: 좌극한은 00이지만 f(12)=1f(\frac12) = 1이므로 불연속입니다. 중간값 정리의 결론이 가설 없이는 성립하지 않음을 보여주는 반례입니다.

4. 연속함수