ε-N 극한

ε 띠를 아무리 좁혀도 어느 순간부터 꼬리가 전부 그 안에 들어갑니다. 그 순간을 확인하는 장면입니다.

수렴한다는 것은 목표값에 한없이 가까워진다는 뜻입니다. 띠를 좁히면 꼬리가 들어가는 시점은 늦어집니다. 그래도 그런 시점이 항상 존재하면 수렴입니다. 정확한 약속은 아래 식과 같습니다.

예를 들면, ⚽ 공을 굴리면 목표 선에 점점 가까이 다가가 멈춥니다. 10cm 안쪽, 1cm 안쪽에 들어오라고 해도 어느 순간부터는 계속 그 안에 머뭅니다.

∀ε>0 ∃N s.t. n>N⇒∣an−L∣<ε\forall\varepsilon>0\ \exists N\ \text{s.t.}\ n>N\Rightarrow|a_n-L|<\varepsilon

예제

수열 an=1n2a_n = \frac{1}{n^2}이 00으로 수렴함을 ε\varepsilon-NN 논법으로 보이고, ε=0.01\varepsilon = 0.01일 때의 NN을 구하세요.

N(ε)=⌈1ε⌉N(\varepsilon) = \left\lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rceil
an=1/n2a_n = 1/n^2, ε=0.01\varepsilon = 0.01 — N=10N = 10부터 꼬리가 띠 안에 들어갑니다.
증명 보기

  1. ∣1n2−0∣=1n2\left|\frac{1}{n^2} - 0\right| = \frac{1}{n^2}이므로, 부등식 1n2<ε\frac{1}{n^2} < \varepsilon은 n2>1εn^2 > \frac{1}{\varepsilon}, 즉 n>1εn > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}와 동치입니다.

  2. N=⌈1ε⌉N = \left\lceil \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \right\rceil이라 두면, n>Nn > N일 때 n>1εn > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}이므로 ∣an−0∣<ε\left|a_n - 0\right| < \varepsilon입니다. 따라서 ε\varepsilon-NN 정의에 의해 an→0a_n \to 0입니다.

  3. ε=0.01\varepsilon = 0.01이면 10.01=10\frac{1}{\sqrt{0.01}} = 10이므로 N=10N = 10입니다. 실제로 n≥11n \geq 11일 때 1n2≤1121<0.01\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{121} < 0.01입니다.

an=nn+1a_n = \frac{n}{n+1}이 11로 수렴함을 보이고, ε=0.05\varepsilon = 0.05일 때의 NN을 구하세요.

∣nn+1−1∣=1n+1\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \frac{1}{n+1}
an=n/(n+1)a_n = n/(n+1), ε=0.05\varepsilon = 0.05 — N=19N = 19부터 꼬리가 띠 안에 들어갑니다.
증명 보기

  1. ∣nn+1−1∣=∣−1n+1∣=1n+1\left|\frac{n}{n+1} - 1\right| = \left|\frac{-1}{n+1}\right| = \frac{1}{n+1}입니다.

  2. 1n+1<ε\frac{1}{n+1} < \varepsilon은 n+1>1εn + 1 > \frac{1}{\varepsilon}, 즉 n>1ε−1n > \frac{1}{\varepsilon} - 1과 동치입니다.

    R\mathbb{R}의 아르키메데스 성질에 의해 1ε−1\frac{1}{\varepsilon} - 1보다 큰 정수 NN이 존재합니다.

    그런 NN을 잡으면 n>Nn > N일 때 ∣an−1∣<ε\left|a_n - 1\right| < \varepsilon이므로 an→1a_n \to 1입니다.

  3. ε=0.05\varepsilon = 0.05이면 10.05−1=19\frac{1}{0.05} - 1 = 19이므로 N=19N = 19로 충분합니다. n≥20n \geq 20일 때 1n+1≤121<0.05\frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{21} < 0.05이기 때문입니다.

∣(−1)nn∣=1n\left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}임을 이용해 an=(−1)nn→0a_n = \frac{(-1)^n}{n} \to 0을 증명하세요.

∣(−1)nn−0∣=1n<ε  ⟺  n>1ε\left|\frac{(-1)^n}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}
an=(−1)n/na_n = (-1)^n/n, ε=0.05\varepsilon = 0.05 — 부호가 바뀌어도 N=20N = 20부터 꼬리가 띠 안에 들어갑니다.
증명 보기

  1. ∣(−1)nn−0∣=∣(−1)n∣n=1n\left|\frac{(-1)^n}{n} - 0\right| = \frac{|(-1)^n|}{n} = \frac{1}{n}입니다. 부호 (−1)n(-1)^n은 절댓값 안에서 사라집니다.

  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면, R\mathbb{R}의 아르키메데스 성질에 의해 N>1εN > \frac{1}{\varepsilon}인 정수 NN이 존재하므로 그런 NN을 잡습니다. 그러면 n>Nn > N일 때 1n<ε\frac{1}{n} < \varepsilon이므로 ∣an−0∣<ε\left|a_n - 0\right| < \varepsilon입니다.

  3. ε=0.05\varepsilon = 0.05이면 10.05=20\frac{1}{0.05} = 20이므로 N=20N = 20입니다. n≥21n \geq 21일 때 1n≤121<0.05\frac{1}{n} \leq \frac{1}{21} < 0.05입니다.

3. 수열