차원과 랭크 | Real Analysis

격자가 행렬에 눌려 펴지는 모습을 봅니다. 사라지는 차원과 남는 차원을 셉니다.

차원은 독립적인 방향의 개수입니다. 행렬을 곱하면 방향들이 겹쳐 눌릴 수 있습니다. 완전히 눌려 사라지는 방향이 핵의 차원입니다. 살아남아 펼치는 범위가 랭크입니다. 둘을 더하면 원래 차원이 됩니다.

예를 들면, 햇빛 아래 그림자는 입체를 평면으로 눌러 보여 줍니다. 높이 방향은 그림자에서 사라집니다. 남는 건 평면 위 방향뿐입니다. 사라진 것과 남은 것을 더하면 원래 차원과 같습니다.

예제

$\{(1, 0), (0, 1)\}$ 이 $\mathbb{R}^2$ 의 기저임을 보이세요.

(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)

항등행렬 — 표준기저 벡터를 그대로 보존합니다.

증명 보기

선형독립: $c_1(1, 0) + c_2(0, 1) = (0, 0)$ 이라 하면 좌표별로 $c_1 = 0$ , $c_2 = 0$ 이므로 자명한 결합만 영벡터를 만듭니다.
생성: 임의의 $(x, y) \in \mathbb{R}^2$ 에 대해 $(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1)$ 이므로 두 벡터의 선형결합으로 전체 $\mathbb{R}^2$ 가 만들어집니다.
독립이고 생성하므로 $\{(1, 0), (0, 1)\}$ 은 $\mathbb{R}^2$ 의 기저이며, $\dim \mathbb{R}^2 = 2$ 입니다.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ 를 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ 로 보고, 랭크와 널리티를 구해 차원–랭크 정리를 확인하세요.

\operatorname{rank} T + \operatorname{nullity} T = 2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3

랭크 1 행렬 — 1차원 핵이 원점으로 접히고 1차원 상이 남습니다.

증명 보기

두 행 $(1, 2, 3)$ 와 $(4, 5, 6)$ 는 모두 0이 아닌 벡터입니다 — 이 확인이 필요합니다: 0인 행은 다른 행의 $0$ 배이므로, "스칼라 배수가 아니다"라는 판정은 0이 아닌 행에서만 독립을 줍니다.
어느 행도 다른 행의 스칼라 배수가 아니므로(예: $4 \cdot (1, 2, 3) = (4, 8, 12) \ne (4, 5, 6)$ , 첫 좌표로 강제되는 배수 $4$ 가 둘째 좌표에서 실패합니다) 두 행은 선형독립이라 행 랭크는 $2$ 입니다.
열 랭크도 직접 확인합니다(행 랭크 $=$ 열 랭크를 인용하지 않습니다): 처음 두 열 $(1, 4)^T$ , $(2, 5)^T$ 에 대해 $\det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3 \ne 0$ 이므로 이 두 열은 선형독립이고, 열공간은 $\mathbb{R}^2$ 전체라 열 랭크도 $2$ 입니다.
따라서 랭크는 $\operatorname{rank} T = 2$ 입니다.
벡터 $(-1, 2, -1)^T$ 를 대입하면 $1(-1) + 2(2) + 3(-1) = -1 + 4 - 3 = 0$ 이고 $4(-1) + 5(2) + 6(-1) = -4 + 10 - 6 = 0$ 이므로 이는 핵의 0이 아닌 원소입니다. 따라서 $\dim \ker T \ge 1$ 입니다.
이제 $(x, y, z)^T \in \ker T$ 인 임의의 벡터를 봅니다.
두 방정식 $x + 2y + 3z = 0$ 과 $4x + 5y + 6z = 0$ 에서, 두 번째 식에서 첫 번째 식의 4배를 빼면 $-3y - 6z = 0$ , 즉 $y = -2z$ 입니다.
이를 첫 번째 식에 대입하면 $x = -2y - 3z = 4z - 3z = z$ 이므로, $(x, y, z) = (z, -2z, z) = z \cdot (1, -2, 1) = (-z) \cdot (-1, 2, -1)$ 입니다.
즉 모든 핵 벡터는 $(-1, 2, -1)^T$ 의 스칼라 배수이므로 $\dim \ker T \le 1$ 입니다.
앞 단계에서 $\dim \ker T \ge 1$ 을 보였으므로 널리티는 정확히 $1$ 이고, $\operatorname{rank} T + \operatorname{nullity} T = 2 + 1 = 3 = \dim \mathbb{R}^3$ 으로 차원–랭크 정리가 성립합니다 — 정리 자체를 인용하지 않고 양쪽을 직접 계산했습니다.

행렬 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 의 랭크를 행 축소로 구하고, 열공간의 기저를 찾으세요.

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

투영 행렬 — 1차원 핵과 1차원 상을 보여주는 또 다른 랭크 1 예시.

증명 보기

행 연산 $R_2 \to R_2 - 2R_1$ 을 적용하면 행렬은 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 이 됩니다. 0이 아닌 행이 하나이므로 행공간의 차원, 즉 랭크는 $1$ 입니다.
두 열은 $(2, 4)^T = 2(1, 2)^T$ 이므로 한 열은 다른 열의 스칼라 배수입니다.
열 $(1, 2)^T$ 하나만으로 열공간 전체가 생성됩니다(생성).
독립성도 필요합니다: $(1, 2)^T \ne (0, 0)^T$ 이므로 원소가 하나뿐인 집합 $\{(1, 2)^T\}$ 는 선형독립입니다 ( $c(1, 2)^T = 0$ 이면 $c = 0$ ).
생성하고 독립이므로 열공간의 기저는 $\{(1, 2)^T\}$ 이고, $\dim$ (열공간) $= 1 =$ 랭크입니다.