볼차노–바이어슈트라스

유계수열 속에는 항상 수렴하는 부분수열이 숨어 있습니다. 구간을 반으로 접어 그 부분수열을 찾아내는 장면입니다.

비법은 구간을 계속 반으로 접는 것입니다. 점이 무한히 많이 모이는 쪽을 따라갑니다. 접을수록 구간은 좁아집니다. 그 안에 갇힌 점들은 하나의 값으로 모여듭니다. 그 점들을 이으면 수렴하는 부분수열이 됩니다.

예를 들면, 🧑 친구 서른 명이 운동장에 흩어져 있습니다. 운동장을 반으로 나누면 어느 한쪽에 친구가 몰려 있습니다. 그쪽만 계속 반으로 나누면 결국 한 지점으로 좁혀집니다.

(an) bounded⇒∃ (ank) convergent(a_n)\ \text{bounded}\Rightarrow\exists\ (a_{n_k})\ \text{convergent}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

수열 an=(−1)na_n = (-1)^n의 수렴하는 부분수열을 두 개 찾고, 각각의 극한을 구하세요.

a2k→1,a2k+1→−1a_{2k} \to 1, \qquad a_{2k+1} \to -1
데모 수열의 이분 과정 (4단계) — '반으로 접어 따라가기'라는 같은 아이디어입니다.
증명 보기

  1. 짝수 항만 취하면 a2k=(−1)2k=1a_{2k} = (-1)^{2k} = 1 (모든 kk에 대해)이므로, 부분수열 (a2k)(a_{2k})는 상수수열 1,1,1,…1, 1, 1, \ldots이고 11로 수렴합니다.

  2. 홀수 항만 취하면 a2k+1=(−1)2k+1=−1a_{2k+1} = (-1)^{2k+1} = -1 (모든 kk에 대해)이므로, (a2k+1)(a_{2k+1})은 −1-1로 수렴합니다.

  3. (2k)(2k)와 (2k+1)(2k+1)은 모두 엄격히 증가하는 자연수열이므로, 이들은 진짜 부분수열입니다. 유계수열 (−1)n(-1)^n 안에는 서로 다른 극한을 갖는 수렴 부분수열이 둘 이상 숨어 있었던 것입니다.

(sin⁡n)(\sin n)이 유계수열임을 보이고, 볼차노–바이어슈트라스 정리로부터 수렴하는 부분수열이 존재함을 결론지으세요.

∣sin⁡n∣≤1 ⟹ ∃ n1<n2<⋯: lim⁡k→∞sin⁡(nk)∈[−1,1]|\sin n| \leq 1 \ \Longrightarrow\ \exists\, n_1 < n_2 < \cdots:\ \lim_{k \to \infty} \sin(n_k) \in [-1,1]
데모 수열의 이분 과정 (6단계) — 유계성이 핵심 가설입니다.
증명 보기

  1. 모든 정수 nn에 대해 ∣sin⁡n∣≤1|\sin n| \leq 1이므로, 수열 (sin⁡n)(\sin n)은 유계입니다.

  2. 볼차노–바이어슈트라스 정리에 의해, 수렴하는 부분수열 (sin⁡(nk))(\sin(n_k))가 존재합니다 (극한은 [−1,1][-1,1] 안의 어떤 값입니다).

  3. 정리는 존재만 보장할 뿐 어떤 부분수열인지는 알려주지 않습니다. 수치적인 예시로, sin⁡(35489)≈0.9999990\sin(35489) \approx 0.9999990, sin⁡(36199)≈0.9999991\sin(36199) \approx 0.9999991처럼 11 근처에 항들이 모이는 모습을 볼 수 있습니다 — 이는 예시일 뿐 증명이 아닙니다.

an=na_n = n은 수렴하는 부분수열을 갖지 않음을 증명하세요.

유계성 가설이 왜 필요한지 보여줍니다.

nk≥k→∞n_k \geq k \to \infty
데모는 [0,1][0,1] 안에 갇혀 있기에 이분이 통합니다. 유계성이 없으면 이 그림 자체가 그려지지 않습니다.
증명 보기

  1. (nk)(n_k)를 (n)(n)의 임의의 부분수열이라 하자. 지표가 엄격히 증가하므로 귀납법으로 nk≥kn_k \geq k를 얻는다: n1≥1n_1 \geq 1이고, nk+1>nk≥kn_{k+1} > n_k \geq k이므로 nk+1≥k+1n_{k+1} \geq k+1이다.

  2. 따라서 nk≥k→∞n_k \geq k \to \infty이므로, 모든 부분수열은 위로 비유계이고 발산한다.

  3. 수렴하는 수열은 유계이므로, 비유계인 (nk)(n_k)는 수렴할 수 없다. 따라서 (n)(n)은 수렴하는 부분수열을 하나도 갖지 않는다 — 볼차노–바이어슈트라스의 유계성 가설을 빼면 정리가 거짓이 된다.

3. 수열