← 4. 연속함수

연습문제

이 장의 내용을 확인하는 연습문제이다. 풀이는 접어서 두었으니 먼저 스스로 풀어 보자.

쉬움

1쉬움반례형

참·거짓을 판정하고 증명하라: 열린 구간의 연속함수에 의한 상은 항상 열린 집합이다.

f(x)=x2,I=(−1,1),f(I)=[0,1)f(x) = x^2, \qquad I = (-1, 1), \qquad f(I) = [0, 1)
판정

이 명제는 거짓이다 — f(x)=x2f(x) = x^2의 열린 구간 I=(−1,1)I = (-1, 1)에서의 상은 [0,1)[0, 1)로, 열린 집합이 아니다.

풀이 보기

반례 구성과 검증

  1. 거짓이다. f(x)=x2f(x) = x^2 (x∈Rx \in \mathbb{R})는 연속이고 I=(−1,1)I = (-1, 1)은 열린 구간이다. f(I)=[0,1)f(I) = [0, 1)임을 주장한다.

    0≤y<10 \le y < 1이면 x=y∈[0,1)⊂Ix = \sqrt{y} \in [0, 1) \subset I이고 f(x)=yf(x) = y이므로 y∈f(I)y \in f(I)이다. y<0y < 0이면 x2≥0x^2 \ge 0이므로 도달 불가능하고, y≥1y \ge 1이면 ∣x∣<1|x| < 1에서 x2<1x^2 < 1이므로 도달 불가능하다.

  2. [0,1)[0, 1)은 R\mathbb{R}에서 열린 집합이 아니다: 0∈[0,1)0 \in [0, 1)이지만, 모든 ε>0\varepsilon > 0에 대해 −ε/2∈(−ε,ε)-\varepsilon/2 \in (-\varepsilon, \varepsilon)이면서 −ε/2∉[0,1)-\varepsilon/2 \notin [0, 1)이다.

    따라서 열린 구간의 연속상 [0,1)[0, 1)은 열려 있지 않다. 연속성은 열린성을 보존하지 않는다 (닫힌성은 보존한다: 콤팩트 집합의 연속상은 콤팩트).

보통

2보통

R\mathbb{R} 위에서 fn(x)=x1+nx2f_n(x) = \frac{x}{1 + n x^2}이라 하자.

각 점별 극한 lim⁡n→∞fn(x)\lim_{n \to \infty} f_n(x)를 구하고, 수렴이 R\mathbb{R} 위에서 균등함을 증명하라. sup⁡x∈R∣fn(x)∣\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)|의 정확한 값을 구하라.

fn(x)→0(n→∞) for every xf_n(x) \to 0 \quad (n \to \infty) \text{ for every } x
sup⁡R∣fn∣=12n→0\sup_{\mathbb{R}} |f_n| = \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0
풀이 보기

  1. 먼저 점별 극한을 구한다. x=0x = 0이면 fn(0)=0f_n(0) = 0이다.

    x≠0x \ne 0이면 1+nx2≥nx21 + nx^2 \ge nx^2이므로 ∣fn(x)∣≤∣x∣nx2=1n∣x∣→0|f_n(x)| \le \frac{|x|}{nx^2} = \frac{1}{n|x|} \to 0이다. 따라서 점별 극한함수는 f≡0f \equiv 0이다.

  2. 균등수렴은 상한 노름으로 판정한다: fn→ff_n \to f가 균등할 필요충분조건은 sup⁡∣fn−f∣→0\sup |f_n - f| \to 0이다. fnf_n은 기함수이므로 ∣fn∣|f_n|의 상한은 x≥0x \ge 0에서 찾으면 된다.

    x≥0x \ge 0에서 미분하면 gn′(x)=1−nx2(1+nx2)2g_n'(x) = \frac{1 - nx^2}{(1 + nx^2)^2}이므로 유일한 임계점은 x=1/nx = 1/\sqrt{n}이고, 그 값은 gn(1/n)=1/n2=12ng_n(1/\sqrt{n}) = \frac{1/\sqrt{n}}{2} = \frac{1}{2\sqrt{n}}이다. 경계(x=0x = 0 또는 x→∞x \to \infty)에서는 값이 00이므로 이것이 전역 최댓값이다.

  3. 기함수 대칭성에 의해 sup⁡x∈R∣fn(x)∣=12n→0\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = \frac{1}{2\sqrt{n}} \to 0이다. 따라서 fn→0f_n \to 0은 R\mathbb{R} 위에서 균등수렴한다.

    봉우리의 위치 1/n1/\sqrt{n}은 00으로 이동하지만 높이가 1/(2n)1/(2\sqrt{n})으로 함께 꺼지므로 균등수렴이 성립한다.