덧셈 함수와 하멜 기저

합을 그대로 두는 함수가 어디까지 자유로운지 봅니다. 유리수에서는 완전히 고정되고, 무리수에서는 값이 풀려납니다.

덧셈 함수는 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)를 만족합니다. 유리수에서는 f(q)=qf(1)f(q) = qf(1)이라 자유가 없습니다. 하지만 실수를 유리수 위의 벡터공간으로 보면 11과 2\sqrt{2}는 독립이라, f(2)f(\sqrt{2})는 아무 값으로나 정할 수 있습니다. 그 자유가 하멜 기저입니다.

예를 들면, 📐 정사각형의 한 변이 1이면 대각선은 2\sqrt{2}입니다. 변의 길이만 알아서는 대각선에 매길 값을 정할 수 없습니다. 대각선은 변과 독립인 새 방향이기 때문입니다. 연속이라는 조건을 거는 순간 이 자유는 사라지고 직선만 남습니다.

f(x+y)=f(x)+f(y),f(q)=qf(1)  (q∈Q)f(x + y) = f(x) + f(y), \qquad f(q) = qf(1) \ \ (q \in \mathbb{Q})
f(a+b2)=a+bt,t=f(2) is freef(a + b\sqrt{2}) = a + bt, \qquad t = f(\sqrt{2}) \text{ is free}

예제

덧셈 함수 f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y)를 모든 실수에서 만족하는 함수 ff에 대해, 모든 유리수 qq와 모든 실수 xx에서 f(qx)=qf(x)f(qx) = qf(x)임을 완전히 증명하세요.

f(qx)=qf(x),q∈Qf(qx) = qf(x), \qquad q \in \mathbb{Q}
유리수 배는 함숫값을 그대로 따라갑니다.
증명 보기

  1. 자연수 배: f(0)=f(0+0)=2f(0)f(0) = f(0 + 0) = 2f(0)이라 f(0)=0f(0) = 0입니다. 귀납법으로 f(nx)=nf(x)f(nx) = nf(x)입니다. 또 0=f(0)=f(x+(−x))=f(x)+f(−x)0 = f(0) = f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)라 f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x)이고, 음의 정수 배도 성립합니다.

  2. 역수 배: n≥1n \ge 1에 대해 f(x)=f ⁣(n⋅xn)=nf ⁣(xn)f(x) = f\!\left(n \cdot \frac{x}{n}\right) = n f\!\left(\frac{x}{n}\right)이므로 f ⁣(xn)=1nf(x)f\!\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{1}{n} f(x)입니다.

  3. q=pnq = \frac{p}{n} 꼴로 합치면 f(qx)=pf ⁣(xn)=pnf(x)=qf(x)f(qx) = p f\!\left(\frac{x}{n}\right) = \frac{p}{n} f(x) = qf(x)입니다. 특히 x=1x = 1이면 f(q)=qf(1)f(q) = qf(1)로, 유리수 위에서는 함수가 완전히 고정됩니다.

덧셈 함수 ff가 단 한 점 x0x_0에서 연속이면, c=f(1)c = f(1)에 대해 모든 실수 xx에서 f(x)=cxf(x) = cx임을 완전히 증명하세요.

f additive +continuous at one point ⟹ f(x)=cxf \text{ additive } + \text{continuous at one point} \ \Longrightarrow \ f(x) = cx
연속성이 자유를 없애 직선만 남깁니다.
증명 보기

  1. 연속성이 00으로 이동합니다: f(x0+h)−f(x0)=f(h)f(x_0 + h) - f(x_0) = f(h)이므로, h→0h \to 0일 때 왼쪽이 00으로 가는 것이 x0x_0에서의 연속성이고, 이는 곧 f(h)→0=f(0)f(h) \to 0 = f(0), 즉 00에서의 연속성입니다. 같은 식으로 모든 점에서 연속이 됩니다.

  2. 임의의 실수 xx에 수렴하는 유리수 수열 qn→xq_n \to x를 잡습니다. 앞 문제로 f(qn)=cqnf(q_n) = cq_n이고, 연속성으로 f(qn)→f(x)f(q_n) \to f(x)입니다. 한편 cqn→cxcq_n \to cx입니다. 극한은 유일하므로 f(x)=cxf(x) = cx입니다.

덧셈 함수 ff가 어떤 구간 (−δ,δ)(-\delta, \delta)에서 유계이면 ff는 연속이고, 따라서 f(x)=cxf(x) = cx 꼴임을 완전히 증명하세요.

∣f∣≤M on (−δ,δ) ⟹ f(x)=cx|f| \le M \text{ on } (-\delta, \delta) \ \Longrightarrow \ f(x) = cx
작은 구간에서의 유계만으로 전체가 직선이 됩니다.
증명 보기

  1. ∣f∣≤M|f| \le M이라 하자. ∣h∣<δn|h| < \frac{\delta}{n}이면 nh∈(−δ,δ)nh \in (-\delta, \delta)라 ∣f(nh)∣≤M|f(nh)| \le M입니다. 그런데 f(nh)=nf(h)f(nh) = nf(h)이므로 ∣f(h)∣≤Mn|f(h)| \le \frac{M}{n}입니다.

  2. ε>0\varepsilon > 0이 주어지면 Mn<ε\frac{M}{n} < \varepsilon인 nn을 골라 η=δn\eta = \frac{\delta}{n}으로 둡니다. ∣h∣<η|h| < \eta이면 ∣f(h)−f(0)∣=∣f(h)∣≤Mn<ε|f(h) - f(0)| = |f(h)| \le \frac{M}{n} < \varepsilon라 ff는 00에서 연속입니다.

  3. 앞 문제에 의해 f(x)=cxf(x) = cx입니다. 즉 조금이라도 얌전하면 괴물 같은 덧셈 함수는 존재할 수 없습니다.

4. 연속함수