민코프스키 부등식

$p = 2$이므로 켤레지수 $q = \frac{p}{p-1} = 2$이고, $(p-1)q = 1 \cdot 2 = 2 = p$가 성립합니다. 먼저 $\|f+g\|_2^2 = \int_0^1 (f+g)^2$를 두 항으로 쪼갭니다: $\int_0^1 (f+g)^2 = \int_0^1 f(f+g) + \int_0^1 g(f+g)$.

각 항에 횔더 부등식 $\int |uv| \le \|u\|_p\|v\|_q$를 $u = f$, $v = f+g$로 적용합니다: $\int_0^1 f(f+g) \le \|f\|_2\,\|f+g\|_2$.

여기서 절댓값 없는 형태가 정당합니다: 이 씬에서는 $f(t) = t \ge 0$이고 $f+g \equiv 1 \ge 0$이므로 $|f| = f$, $|f+g| = f+g$이고 $\int f(f+g) = \int |f(f+g)|$입니다.

수치로 확인하면, $\int_0^1 f(f+g) = \int_0^1 t \cdot 1\,dt = \frac12 = 0.5$이고 $\|f\|_2\,\|f+g\|_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 \approx 0.5773502692$이므로 $0.5 \le 0.5773502692$가 성립합니다. $g$ 항도 대칭성에 의해 똑같습니다 ($\int_0^1 g(f+g) = \int_0^1 (1-t)\,dt = \frac12$).

두 항을 더하면 $\|f+g\|_2^2 \le \big(\|f\|_2 + \|g\|_2\big)\,\|f+g\|_2^{2-1}$을 얻습니다. 여기서 $\|f+g\|_2 = 1 \ne 0$이므로 양변을 $\|f+g\|_2$로 나누면 $\|f+g\|_2 \le \|f\|_2 + \|g\|_2$ — 즉 $1 \le \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.1547005384$가 됩니다.

틈새는 $\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \approx 0.1547005384$로, 씬의 수치와 일치합니다.

(일반적인 $p$에서는 같은 논증이 $(p-1)q = p$를 이용해 $\|f+g\|_p^p \le \big(\|f\|_p + \|g\|_p\big)\,\|f+g\|_p^{p-1}$을 주고, $\|f+g\|_p^{p-1}$로 나누어 민코프스키 부등식을 얻습니다.)

먼저 동차성을 증명합니다. $c \ge 0$에 대해 $\|cf\|_p^p = \int_0^1 |cf|^p = \int_0^1 c^p |f|^p = c^p \|f\|_p^p$이므로, $p$제곱근을 취하면 $\|cf\|_p = c\|f\|_p$입니다.

$g = cf$ ($c \ge 0$)이면 $f + g = (1+c)f$이므로, 동차성에 의해 $\|f+g\|_p = \|(1+c)f\|_p = (1+c)\|f\|_p = \|f\|_p + c\|f\|_p = \|f\|_p + \|cf\|_p = \|f\|_p + \|g\|_p$ — 등호가 성립합니다.

씬의 경우: $a = b = 0$이면 $f(t) = t^0 \equiv 1$, $g(t) = (1-t)^0 \equiv 1$이므로 $g = 1 \cdot f$입니다.

따라서 $\|f\|_2 = \left(\int_0^1 1\,dt\right)^{1/2} = 1$, $\|g\|_2 = 1$, $\|f+g\|_2 = \|2\|_2 = 2$이고, 우변 $\|f\|_2 + \|g\|_2 = 2$와 같아 틈새가 정확히 0입니다.

(참고: 여기서 등호는 $g = cf$ ($c \ge 0$, 같은 방향)라서 성립합니다 — $p = 1$에서 일반적으로 성립하는 것은 아닙니다: 부호가 바뀌는 경우, 예컨대 $g = -f$이면 $\|f+g\|_1 = 0 < \|f\|_1 + \|g\|_1$입니다. 더 깊은 등호 조건은 민코프스키 유도에 쓰인 횔더 쌍 $(f, |f+g|^{p-1})$와 $(g, |f+g|^{p-1})$에서 옵니다: 등호는 $|f|^p$가 $|f+g|^p$에 비례하고 $|g|^p$도 $|f+g|^p$에 비례할 때, 즉 $|f|$와 $|g|$가 모두 $|f+g|$에 비례할 때 성립하며, 이 비례 경우가 이에 포함됩니다.)

1단계 (축소): $\sum_n \|f_n\|_p < \infty$이면 $\sum_n f_n$이 $L^p$에서 수렴함을 보이는 것으로 충분하다. 그 이유는 이렇다: 극한 $h$로 수렴하는 부분수열을 가진 코시수열은 $h$ 자체로 수렴하며 (4단계 끝의 $\varepsilon/2$ 추정으로 보인다), 4단계에서는 임의의 코시수열에서 정확히 $\sum_k \|d_k\|_p < \infty$를 만족하는 차이들 $d_k$의 합으로 이루어진 부분수열을 만든다. 따라서 2–3단계에서 이 급수 주장을 증명하고, 4단계에서 이를 적용한다.

2단계: $M = \sum_n \|f_n\|_p < \infty$라 두고, $S_N = \sum_{n \le N} |f_n|$, $F_N = \sum_{n \le N} f_n$이라 두자. $S_N$에 민코프스키 부등식 (이 씬의 1번 문제, 유한 귀납으로 적용)을 적용하면 $\|S_N\|_p \le \sum_{n \le N} \|f_n\|_p \le M$이다. $S_N$은 점별로 $g := \sum_n |f_n| \in [0, \infty]$로 증가하므로, 단조수렴정리에 의해 $\int g^p = \lim_N \int S_N^p = \lim_N \|S_N\|_p^p \le M^p$이다. 따라서 $g \in L^p$이고 $g < \infty$가 거의 모든 점에서 성립하므로, $\sum_n f_n(x)$는 거의 모든 $x$에서 절대수렴한다. 그 합을 $f(x)$라 부르자 (예외인 영집합 위에서는 $f(x) = 0$으로 둔다). 그러면 $|f| \le g$이므로 $f \in L^p$이다.

3단계 (꼬리 추정): 꼬리 급수 $\sum_{n > N} |f_n|$에 같은 논증을 적용한다: 그 점별 합 $g_N := \sum_{n > N} |f_n|$은, 유한 꼬리합에 민코프스키를 적용한 뒤 2단계처럼 단조수렴정리로 극한을 취하면, $\|g_N\|_p \le \sum_{n > N} \|f_n\|_p$를 만족한다. 거의 모든 점에서 $|f - F_N| = \left|\sum_{n > N} f_n\right| \le g_N$이므로, $\|f - F_N\|_p \le \|g_N\|_p \le \sum_{n > N} \|f_n\|_p \to 0$ ($N \to \infty$) — 오른쪽은 수렴 급수 $\sum_n \|f_n\|_p$의 꼬리이기 때문이다. 따라서 $\sum_n f_n \to f$가 $L^p$에서 성립한다.

4단계 (부분수열): $(h_k)$가 $L^p$에서 코시수열이라 하자. 모든 $k$에 대해 $\|h_{n_{k+1}} - h_{n_k}\|_p < 2^{-k}$를 만족하는 첨수 $n_1 < n_2 < \cdots$를 고를 수 있다: $(h_k)$가 코시수열이므로 귀납적으로 고르면 된다. $d_k = h_{n_{k+1}} - h_{n_k}$라 두면 $\sum_k \|d_k\|_p < \sum_k 2^{-k} < \infty$이고, 망원 항등식 $h_{n_1} + \sum_{k=1}^{K} d_k = h_{n_{K+1}}$가 성립한다. 따라서 첫째 항이 $h_{n_1}$이고 뒤에 $d_k$들이 이어지는 급수에 1–3단계를 적용하면, 어떤 $h \in L^p$에 대해 $h_{n_k} \to h$가 $L^p$에서 성립한다.

4단계 (결론): 마지막으로 $\varepsilon > 0$이라 하자. $N_0$를 $k, l \ge N_0$이면 $\|h_k - h_l\|_p < \varepsilon/2$가 되도록 잡고 (코시 조건), $j$를 $n_j \ge N_0$이고 $\|h_{n_j} - h\|_p < \varepsilon/2$가 되도록 잡는다. 그러면 $k \ge N_0$인 모든 $k$에 대해 $\|h_k - h\|_p \le \|h_k - h_{n_j}\|_p + \|h_{n_j} - h\|_p < \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon$이다. 따라서 $h_k \to h$가 $L^p$에서 성립한다. 그러므로 $L^p[a,b]$는 완전하다. ∎