로피탈 정리

$f(x) = \sin x$, $g(x) = x$라 두면 $f(0) = g(0) = 0$이고 $g'(x) = 1 \neq 0$입니다 — $0/0$ 꼴입니다.

두 함수 모두 $[0, x]$에서 연속이고 $(0, x)$에서 미분가능하므로 코시 평균값 정리의 가정이 충족됩니다.

$x > 0$일 때 $[0, x]$에서 코시 평균값 정리를 적용하면 어떤 $\xi_x \in (0, x)$에 대해 $\frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \frac{\cos \xi_x}{1}$입니다.

$0 < \xi_x < x$이므로 $x \to 0^+$일 때 조임으로 $\xi_x \to 0$입니다.

$\cos$는 연속이므로 (미분가능 ⇒ 연속) $\cos \xi_x \to \cos 0 = 1$입니다.

이것이 $0/0$ 경우의 로피탈 정리입니다: 분자·분모를 각각 미분한 비율의 극한이 원래 비율의 극한과 같습니다.

$x < 0$일 때는 $[x, 0]$에서 같은 논리로 $\xi_x \in (x, 0)$을 얻고 마찬가지로 $\cos \xi_x \to 1$입니다. 따라서 $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$입니다.

먼저 $\infty/\infty$ 보조정리: $f, g$가 $[A_0, \infty)$에서 연속이고 $(A_0, \infty)$에서 미분가능하며 $g' \neq 0$, $g(x) \to \infty$, $\frac{f'(x)}{g'(x)} \to L$ (유한)이라 하자. 여기서 $A_0$는 도함수 비율 극한 가정이 성립하기 시작하는 고정된 기준점입니다.

$A \ge A_0$인 작업용 $A$와 $x > A$에 대해 $[A, x]$에 코시 평균값 정리를 적용하면 (연속성은 $[A, x]$에서, 미분가능성은 $(A, x)$에서 성립) 어떤 $\xi_x \in (A, x)$에 대해 $\frac{f(x) - f(A)}{g(x) - g(A)} = \frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}$이다. 또한 $g' \neq 0$이므로 롤의 정리에 의해 $g$는 엄격히 단조입니다: $g(x) = g(A)$이면 롤의 정리로 $g'$의 영점이 생기기 때문입니다.

따라서 $x > A$일 때 $g(x) \neq g(A)$라 나눗셈이 정당합니다.

핵심 항등식을 $L$을 빼는 형태로 씁니다: $\frac{f(x)}{g(x)} - L = \left(\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)} - L\right)\left(1 - \frac{g(A)}{g(x)}\right) + \frac{f(A) - L g(A)}{g(x)}$. $\varepsilon > 0$가 주어지면, 먼저 도함수 비율의 극한 가정으로 $A_0$를 고정하여 $t > A_0$일 때 $\left|\frac{f'(t)}{g'(t)} - L\right| < \frac{\varepsilon}{4}$가 되게 합니다. 그다음 작업용 $A \ge A_0$를 선택합니다 ($A$의 역할은 $A_0$와 다릅니다: $A$는 아래 상한에서 고정되는 점입니다); 그러면 $\xi_x > A \ge A_0$이므로 첫 인자는 $\frac{\varepsilon}{4}$보다 작습니다.

$g(x) \to \infty$이므로 $x$가 충분히 크면 $\left|\frac{g(A)}{g(x)}\right| < 1$이고, 따라서 $\left|1 - \frac{g(A)}{g(x)}\right| \le 1 + \left|\frac{g(A)}{g(x)}\right| < 2$입니다. 첫 항은 $\frac{\varepsilon}{4} \cdot 2 = \frac{\varepsilon}{2}$ 이하이고, 둘째 항 $\frac{|f(A) - L g(A)|}{|g(x)|}$도 $x$를 크게 잡으면 $\frac{\varepsilon}{2}$보다 작아집니다.

합하면 $\left|\frac{f(x)}{g(x)} - L\right| < \varepsilon$ — $\varepsilon$이 임의이므로 $\frac{f(x)}{g(x)} \to L$입니다. 이것이 $\infty/\infty$ 경우의 로피탈 정리입니다.

$f(x) = \ln x$, $g(x) = x$에 적용하면 $g'(x) = 1 \neq 0$, $g(x) \to \infty$이고 $\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{1} = \frac{1}{x} \to 0$이다. 따라서 $\lim_{x \to \infty}\frac{\ln x}{x} = 0$이다.

$x > 0$일 때 $x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$이다. $f(x) = \ln x$, $g(x) = 1/x$라 두면 $f(x) \to -\infty$, $g(x) \to +\infty$이므로 $\infty/\infty$ 꼴이고, $g'(x) = -\frac{1}{x^2} \neq 0$이다.

$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{1/x}{-1/x^2} = -x \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0$이다. 문제 2의 보조정리를 뒤집힌 방향으로 다시 진술하고 핵심 상한을 재확인합니다: $0 < x < A$인 고정된 $A$에 대해 $[x, A]$에서 코시 평균값 정리를 적용하면 (여기서도 $g' \neq 0$이므로 롤의 정리로 $g(x) \neq g(A)$) 같은 항등식 $\frac{f(x)}{g(x)} - L = \left(\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} - L\right)\left(1 - \frac{g(A)}{g(x)}\right) + \frac{f(A) - L g(A)}{g(x)}$ ($L = 0$, $\xi \in (x, A)$)를 얻습니다.

$x \to 0^+$이면 $|g(x)| = 1/x \to \infty$이므로 고정된 $A$에 대해 $\left|1 - \frac{g(A)}{g(x)}\right| < 2$가 충분히 작은 $x$에서 성립하고, $\frac{|f(A) - L g(A)|}{|g(x)|} < \frac{\varepsilon}{2}$도 충분히 작은 $x$에서 성립합니다 — 고정된 $A$ 항들은 $|g(x)| \to \infty$ 때문에 작아집니다. $A$를 먼저 작게 잡아 $t \in (0, A)$에서 $\left|\frac{f'(t)}{g'(t)} - L\right| < \frac{\varepsilon}{4}$가 되게 하면 첫 항은 $\frac{\varepsilon}{2}$ 이하가 되어 $\left|\frac{f(x)}{g(x)} - L\right| < \varepsilon$를 얻습니다.

따라서 $\lim_{x \to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = 0$입니다.

따라서 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$이다. 수치로도 확인된다: $x = 0.01$에서 $x\ln x = 0.01 \cdot \ln 0.01 \approx -0.0461$이고, 도함수 비율은 $-x = -0.01$이며, 둘 다 $x \to 0^+$일 때 0으로 간다.