미적분 기본정리

넓이를 쌓는 함수의 기울기를 재는 씬입니다. 그 기울기가 원래 함수와 일치합니다.

넓이가 쌓이는 속도는 그 지점의 높이와 같습니다. 오른쪽 끝을 조금 밀면 그만큼의 띠가 붙습니다. 띠의 넓이는 높이 곱하기 이동 거리입니다.

예를 들면, 💧 물을 탱크에 채울 때 물이 차오르는 속도는 지금 나오는 물의 양과 같아요. 쌓인 양을 미분하면 나오는 양이 되는 거예요.

A(x)=∫axf(t) dt  ⇒  A′(x)=f(x)A(x) = \int_a^x f(t)\,dt \;\Rightarrow\; A'(x) = f(x)

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

A(x)=∫0xt2 dt=x33A(x) = \int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}임을 보이고 A′(x)=x2A'(x) = x^2를 확인하세요.

A(x)=x33,A′(x)=x2A(x) = \frac{x^3}{3}, \quad A'(x) = x^2
x=1.5x = 1.5: 수치 미분값이 f(1.5)=2.25f(1.5) = 2.25와 일치합니다.
증명 보기

  1. 멱함수 적분 공식에 의해 ∫0xt2 dt=[t33]0x=x33\int_0^x t^2\,dt = \left[\frac{t^3}{3}\right]_0^x = \frac{x^3}{3}입니다.

  2. 미분하면 A′(x)=x2=f(x)A'(x) = x^2 = f(x)로, 미적분 기본정리 제1형태와 일치합니다.

계산형

∫012x dx\int_0^1 2x\,dx를 역도함수로 계산하세요.

∫012x dx=[x2]01=1\int_0^1 2x\,dx = \left[x^2\right]_0^1 = 1
x=1x = 1까지의 넓이는 1입니다.
증명 보기

  1. 2x2x의 역도함수는 x2x^2입니다 ((x2)′=2x(x^2)' = 2x).

  2. 기본정리 제2형태에 의해 ∫012x dx=12−02=1\int_0^1 2x\,dx = 1^2 - 0^2 = 1입니다.

정답

11

ddx∫xx2sin⁡t dt\frac{d}{dx}\int_x^{x^2} \sin t\,dt를 기본정리와 연쇄법칙으로 구하세요.

ddx∫xx2sin⁡t dt=2xsin⁡(x2)−sin⁡x\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2) - \sin x
sin⁡\sin의 넓이함수 위에서 x≈1.01x \approx 1.01 지점을 봅니다.
증명 보기

  1. F(u)=∫0usin⁡t dtF(u) = \int_0^u \sin t\,dt라 두면, 피적분함수 sin⁡\sin이 연속이므로 기본정리 제1형태의 연속성 가정이 성립하고, 이에 의해 F′(u)=sin⁡uF'(u) = \sin u입니다.

  2. 적분은 F(x2)−F(x)F(x^2) - F(x)이므로, 연쇄법칙으로 미분하면 2x F′(x2)−F′(x)=2xsin⁡(x2)−sin⁡x2x\,F'(x^2) - F'(x) = 2x\sin(x^2) - \sin x입니다.

11. 적분