열린집합과 닫힌집합

집합 UU가 열려 있다는 것은 모든 점이 내점이라는 뜻 — 각 점을 ε\varepsilon-공으로 감쌀 수 있습니다. 수직선 위에서 점 xx와 ε\varepsilon을 움직이며 공이 집합 안에 들어가는지 확인합니다.

U open   ⟺  ∀x∈U ∃ε>0:(x−ε,x+ε)⊆UU \text{ open } \iff \forall x \in U\ \exists \varepsilon > 0 : (x - \varepsilon, x + \varepsilon) \subseteq U
F closed   ⟺  Fc openF \text{ closed } \iff F^c \text{ open}

예제

(0,1)(0,1)이 열린집합임을 정의로 직접 증명하세요.

ε=min⁡(x,1−x)>0\varepsilon = \min(x, 1-x) > 0
x=0.5x = 0.5, ε=0.2\varepsilon = 0.2 — 공이 (0,1)(0,1) 안에 들어갑니다.
증명 보기
  1. x∈(0,1)x \in (0,1)이라 하자. x>0x > 0이고 1−x>01 - x > 0이므로 ε=min⁡(x,1−x)>0\varepsilon = \min(x, 1-x) > 0이라 둘 수 있다.
  2. y∈(x−ε,x+ε)y \in (x-\varepsilon, x+\varepsilon)이라 하자. ∣y−x∣<ε≤x\lvert y - x\rvert < \varepsilon \leq x이므로 y>x−ε≥0y > x - \varepsilon \geq 0이고, ∣y−x∣<ε≤1−x\lvert y - x\rvert < \varepsilon \leq 1 - x이므로 y<x+ε≤1y < x + \varepsilon \leq 1이다.
  3. 따라서 (x−ε,x+ε)⊆(0,1)(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq (0,1)이다. xx가 임의였으므로 (0,1)(0,1)은 열린집합이다.

⋂n=1∞(−1/n,1/n)={0}\bigcap_{n=1}^{\infty} (-1/n, 1/n) = \{0\}임을 보이고, 이것이 열린집합이 아님을 증명하세요.

⋂n=1∞(−1n,1n)={0}\bigcap_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right) = \{0\}
{0}\{0\} — 어떤 ε\varepsilon-공도 한 점 안에 들어가지 않는다.
증명 보기
  1. x∈⋂n(−1/n,1/n)x \in \bigcap_{n} (-1/n, 1/n)이라 하자. 모든 nn에 대해 ∣x∣<1/n\lvert x\rvert < 1/n이므로 n→∞n \to \infty으로 보내면 ∣x∣=0\lvert x\rvert = 0, 즉 x=0x = 0이다.
  2. 역으로 00은 모든 (−1/n,1/n)(-1/n, 1/n)에 속하므로 교집합은 정확히 {0}\{0\}이다.
  3. {0}\{0\}은 열린집합이 아니다: 점 00에서 어떤 ε>0\varepsilon > 0을 잡아도 ε/2∈(−ε,ε)\varepsilon/2 \in (-\varepsilon, \varepsilon)이지만 ε/2∉{0}\varepsilon/2 \notin \{0\}이므로, ε\varepsilon-공이 {0}\{0\} 안에 들어가지 않는다. — 열린집합들의 무한 교집합은 열려 있지 않을 수 있다.

[0,1][0,1]이 열린집합이 아님을 증명하세요.

−ε2∈(−ε,ε),−ε2∉[0,1]-\frac{\varepsilon}{2} \in (-\varepsilon, \varepsilon), \quad -\frac{\varepsilon}{2} \notin [0,1]
x=0x = 0 — 경계점에서는 어떤 ε\varepsilon-공도 밖으로 샌다.
증명 보기
  1. 0∈[0,1]0 \in [0,1]이다. ε>0\varepsilon > 0을 임의로 잡자.
  2. −ε/2∈(−ε,ε)-\varepsilon/2 \in (-\varepsilon, \varepsilon)이지만 −ε/2<0-\varepsilon/2 < 0이므로 −ε/2∉[0,1]-\varepsilon/2 \notin [0,1]이다.
  3. 따라서 00의 어떤 ε\varepsilon-근방도 [0,1][0,1] 안에 들어가지 않으므로, [0,1][0,1]은 열린집합이 아니다.

4. 위상