거리공간

거리를 공리화하면 ε\varepsilon-공이 일반화됩니다 — 열린 공 B(c,r)B(c, r)의 모양은 거리 dd에 달려 있습니다. 유클리드 거리의 원판, 최대 노름의 정사각형, 그리고 극단적인 예시인 이산 거리를 비교합니다.

d(x,y)≥0,d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y) \geq 0, \quad d(x,y) = 0 \iff x = y
d(x,y)=d(y,x),d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)d(x,y) = d(y,x), \quad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)
B(c,r)={x:d(x,c)<r}B(c, r) = \{x : d(x, c) < r\}

이 씬이 포함된 학습 경로

예제

이산 거리 d(x,y)=0d(x,y)=0 (x=yx=y일 때), 11 (그 외)이 거리 공리를 만족함을 증명하세요.

d(x,y)≥0,d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y) \geq 0,\quad d(x,y)=0 \iff x=y
d(x,y)=d(y,x),d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)d(x,y)=d(y,x),\quad d(x,z) \leq d(x,y)+d(y,z)
이산 거리, r=0.5r = 0.5 — B(p0,0.5)={p0}B(p_0, 0.5) = \{p_0\}
증명 보기
  1. d(x,y)d(x,y)의 값은 00 또는 11뿐이므로 d(x,y)≥0d(x,y) \geq 0이다. 정의에 의해 x=yx = y일 때 정확히 d(x,y)=0d(x,y) = 0이고, x≠yx \neq y일 때 d(x,y)=1d(x,y) = 1이므로 d(x,y)=0  ⟺  x=yd(x,y) = 0 \iff x = y이다.
  2. 대칭성: x=yx = y이면 d(x,y)=0=d(y,x)d(x,y) = 0 = d(y,x)이고, x≠yx \neq y이면 d(x,y)=1=d(y,x)d(x,y) = 1 = d(y,x)이므로 d(x,y)=d(y,x)d(x,y) = d(y,x)이다.
  3. 삼각 부등식을 경우로 나누어 보인다. x=zx = z이면 좌변 d(x,z)=0≤d(x,y)+d(y,z)d(x,z) = 0 \leq d(x,y) + d(y,z)이다. x≠zx \neq z이면 좌변 d(x,z)=1d(x,z) = 1이다. 이때 임의의 yy에 대해, yy가 xx와 같으면 우변은 0+1=10 + 1 = 1, yy가 zz와 같으면 1+0=11 + 0 = 1, yy가 둘 다와 다르면 1+1=21 + 1 = 2이므로, 어느 경우에도 1≤d(x,y)+d(y,z)1 \leq d(x,y) + d(y,z)이다.
  4. 따라서 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)가 모든 x,y,zx, y, z에 대해 성립한다 — 이산 거리는 거리 공리를 모두 만족한다.

이산 거리 공간에서는 모든 부분집합이 열린집합임을 증명하세요.

B(x,1/2)={x}B(x, 1/2) = \{x\}
r=0.5<1r = 0.5 < 1 — 모든 한 점 집합이 열린 공이다.
증명 보기
  1. AA를 이산 거리 공간의 임의의 부분집합이라 하고, x∈Ax \in A를 잡자.
  2. r=1/2r = 1/2이라 두면 B(x,1/2)={x}B(x, 1/2) = \{x\}이다: d(x,y)<1/2d(x,y) < 1/2이면 d(x,y)d(x,y)의 값이 00 또는 11뿐이므로 d(x,y)=0d(x,y) = 0이어야 하고, 이는 y=xy = x를 뜻한다.
  3. 따라서 B(x,1/2)={x}⊆AB(x, 1/2) = \{x\} \subseteq A이다. xx가 임의였으므로 AA의 모든 점은 내점 — AA는 열린집합이다.

이산 거리 공간에서 수렴하는 수열은 결국 상수 수열임을 증명하세요.

d(xn,x)<1/2  ⟹  xn=xd(x_n, x) < 1/2 \implies x_n = x
r=1.5>1r = 1.5 > 1 — 공이 전체 6점이 된다.
증명 보기
  1. xn→xx_n \to x라 하자. 수렴의 정의에서 ε=1/2\varepsilon = 1/2에 대해, n≥Nn \geq N이면 d(xn,x)<1/2d(x_n, x) < 1/2인 NN이 존재한다.
  2. 이산 거리에서 d(xn,x)<1/2d(x_n, x) < 1/2이면 d(xn,x)d(x_n, x)의 가능한 값이 00뿐이므로 d(xn,x)=0d(x_n, x) = 0이어야 하고, 이는 xn=xx_n = x를 뜻한다.
  3. 따라서 n≥Nn \geq N인 모든 nn에 대해 xn=xx_n = x — 수열은 결국 상수 수열이다.

4. 위상